关于刑事案件申请检察院法律监督的期限，这主要取决于具体的监督类型和情形，以下是详细分析：

1. 刑事申诉的期限：

   • 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关司法解释，当事人及其法定代理人、近亲属对已经发生法律效力的判决、裁定，可以向人民法院或者人民检察院提出申诉，但申诉并没有严格的期限限制。这意味着，从理论上讲，当事人可以在任何时候提出申诉，但考虑到证据的保存、证人记忆的清晰度等因素，尽早提出申诉通常更为有利。

2. 对司法机关不立案决定的监督申请期限：

   • 如果认为公安机关对应当立案的案件没有立案，可以向人民检察院提出立案监督申请。根据《人民检察院刑事诉讼规则》的相关规定，控告人对于公安机关不予立案决定不服的，可以在收到不予立案通知书后七日以内向作出决定的公安机关申请复议；公安机关应当在收到复议申请后七日以内作出决定，并书面通知控告人。控告人对不予立案的复议决定仍不服的，可以在收到复议决定书后七日以内向上一级公安机关申请复核。上一级公安机关应当在收到复核申请后七日以内作出决定。对公安机关不予立案的复议、复核决定仍不服的，可以在收到复议、复核决定书后七日以内向人民检察院提出立案监督申请。不过，这里需要注意的是，虽然提到了多个“七日以内”的时间节点，但它们是针对复议、复核程序的，而直接向检察院提出立案监督申请的具体期限，在法律条文中并未明确规定一个固定的“申请期限”，而是强调了“及时性”和“合理性”，即应在合理时间内提出，且通常建议在知道或应当知道不予立案决定后尽快提出。

3. 对其他司法行为的监督申请期限：

   • 对于其他类型的司法行为，如侦查活动违法、审判活动违法等，如果当事人认为需要检察院进行法律监督，申请期限同样没有严格的法律规定，但一般也建议在知道或应当知道违法行为后尽快提出，以便检察院及时进行调查和处理。

法律建议：

• 尽早申请：无论哪种类型的法律监督申请，尽早提出都是更为有利的。因为随着时间的推移，证据可能会灭失，证人记忆可能会模糊，这都会增加检察院调查和处理的难度。
• 准备充分：在提出申请时，应尽可能提供详细的证据和材料，以支持自己的主张。这有助于检察院更快地了解案情，作出准确的判断。
• 遵循程序：在提出申请时，应遵循法律规定的程序和要求，如书面申请、提供必要的身份证明和证据材料等。这有助于确保申请的合法性和有效性。

可能后果：

• 如果申请符合法律规定和检察院的受理条件，检察院将会依法进行调查和处理，并可能提出纠正意见或抗诉等。
• 如果申请不符合法律规定或检察院的受理条件，检察院可能会不予受理或驳回申请。此时，当事人可以根据具体情况考虑其他法律途径或救济方式。

总结来说，刑事案件申请检察院法律监督的期限并没有一个固定的标准，而是取决于具体的监督类型和情形。但无论如何，尽早提出申请、准备充分并遵循程序都是非常重要的。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。