结论：在此类农村自家院子里付钱给专门锯树人锯树，结果树砸死人的事件中，涉及的法律责任和官司处理需根据具体情况来分析，主要包括锯树人的责任、院子主人的责任以及可能的刑事责任。以下是对这些方面的详细分析。
一、锯树人的责任
过错责任：
- 如果锯树人在操作过程中存在过错，如未采取必要的安全措施、操作不当等，导致树木倒塌砸死人，那么锯树人应当承担相应的民事赔偿责任。
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。
专业资质与注意义务：
- 锯树人作为专业人员，应当具备相应的专业资质和技能，并尽到合理的注意义务。如果因其专业上的疏忽或不足导致事故发生，也应承担相应责任。
二、院子主人的责任
选任责任：
- 院子主人在选择锯树人时，应当尽到合理的审查义务，确保锯树人具备相应的专业资质和经验。如果院子主人未尽到审查义务，选择了不具备资质或经验的锯树人，导致事故发生，院子主人可能需承担一定的选任责任。
安全保障义务：
- 院子主人作为场地提供者，应当确保锯树作业的安全进行。如果院子主人未提供必要的安全条件或未采取必要的安全措施，导致事故发生，也应承担相应的责任。
三、可能的刑事责任
过失致人死亡罪：
- 如果锯树人或院子主人的行为构成过失致人死亡罪，即因过失导致他人死亡，那么他们可能面临刑事责任的追究。
- 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，过失致人死亡的，处三年以上七年以下有期徒刑；情节较轻的，处三年以下有期徒刑。
刑事责任与民事责任的区分：
- 刑事责任和民事责任是两种不同的法律责任。刑事责任主要关注行为的违法性和社会危害性，而民事责任主要关注对受害人的赔偿和补偿。
- 在此类事件中，即使锯树人或院子主人承担了刑事责任，也不影响他们承担民事赔偿责任。
四、官司处理建议
收集证据：
- 在处理此类官司时，首先应当收集相关证据，包括现场照片、视频、证人证言等，以证明事故发生的经过和原因。
协商调解：
- 在证据收集完毕后，可以尝试与对方进行协商调解，寻求双方都能接受的解决方案。
提起诉讼：
- 如果协商调解无果，可以向人民法院提起诉讼，要求对方承担相应的民事赔偿责任。在诉讼过程中，应当充分陈述事实、提供证据，并依据相关法律法规进行辩论。
五、特别提醒
- 在处理此类事件时，应当保持冷静和理性，避免情绪化的行为影响官司的处理结果。
- 如果有条件的话，可以聘请专业的律师进行代理，以确保自己的合法权益得到充分保障。
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