核心结论：同一部位第一次评定十级伤残已赔付，第二次评定八级伤残时，赔偿金的计算需根据具体情况确定，主要涉及是否构成新伤情、是否涉及旧伤复发或加重，以及是否属于同一侵权行为导致的连续损害等情形。以下是具体分析：

1. 若第二次伤残评定是基于新发生的独立事故或侵权行为
   若第二次八级伤残与第一次十级伤残无因果关系（例如第一次是交通事故导致，第二次是工伤导致），则两次赔偿独立计算。赔偿项目包括：

   • 医疗费：第二次治疗产生的合理费用；
     
   • 残疾赔偿金：按第二次评定的八级伤残标准计算（需扣除第一次已赔付的十级部分，若当地法律允许叠加赔偿则按新标准全额计算）；
     
   • 误工费、护理费等：根据第二次治疗和康复的实际损失计算。
     法律依据：根据《民法典》第1179条，侵害他人造成人身损害的，应赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入；造成残疾的，还应赔偿辅助器具费和残疾赔偿金。

2. 若第二次伤残评定是因第一次伤情复发或加重

   • 若属于同一侵权行为的连续损害（例如第一次治疗后未完全康复，后续因同一原因导致伤残等级提升）：
     赔偿金需扣除第一次已赔付部分，按八级伤残与十级伤残的差额补足。例如，残疾赔偿金按八级标准计算后，减去第一次已按十级标准支付的部分。
     
   • 若属于医疗事故或过错导致伤情加重：
     可向医疗机构主张医疗损害责任赔偿，赔偿范围包括因医疗过错导致的额外损失（如医疗费、残疾赔偿金差额等）。
     法律依据：根据《民法典》第1218条，患者在诊疗活动中受到损害，医疗机构或其医务人员有过错的，由医疗机构承担赔偿责任。

3. 若涉及工伤保险与侵权责任的竞合（例如第一次是工伤十级，第二次是交通事故导致同一部位八级）
   可分别主张工伤保险待遇和侵权损害赔偿，但医疗费等实际支出项目不得重复获赔。残疾赔偿金方面，工伤保险按伤残等级支付一次性伤残补助金，侵权赔偿按八级伤残标准计算，两者可叠加（但部分地区对叠加赔偿有限制性规定，需结合当地司法实践）。
   法律依据：根据《社会保险法》第38条，因工伤发生的残疾赔偿金由工伤保险基金支付；根据《民法典》第1179条，侵权人需赔偿残疾赔偿金，两者性质不同，一般可并行主张。

建议行动：

1. 收集两次伤残评定的完整材料（包括鉴定报告、病历、事故证明等）；
   
2. 明确两次伤残的因果关系（是否独立、是否因同一原因加重）；
   
3. 根据具体情形选择赔偿路径（如向侵权人、保险公司或工伤保险机构主张权利）；
   
4. 若涉及复杂法律问题（如医疗过错鉴定、赔偿项目计算），可进一步向我咨询，我会结合您的具体证据和当地司法实践提供详细方案。