董事会秘书受到行政处罚后，能否担任上市公司高管以及何时能担任，需根据行政处罚的具体类型、严重程度以及相关法律法规的规定来综合判断，无法直接给出一个固定的年限。 以下从不同角度进行分析：
一、行政处罚类型与影响
一般行政处罚：
- 如果董事会秘书受到的是较为轻微的行政处罚，如警告、罚款等，且该处罚并未涉及对其诚信、职业操守或专业能力的严重质疑，那么在其接受处罚并改正后，理论上可以较快地恢复其担任上市公司高管的资格。但具体还需看相关法律法规及公司章程的规定。
严重行政处罚：
- 如果董事会秘书受到的是较为严重的行政处罚，如市场禁入、吊销执业资格等，那么其担任上市公司高管的资格将受到较大限制。根据《中华人民共和国公司法》及相关证券法规的规定，被吊销执业资格或受到市场禁入处罚的人员，在禁入期间内不得担任上市公司的高管。
二、相关法律法规规定
《中华人民共和国公司法》：
- 该法并未直接规定董事会秘书受到行政处罚后何时能担任上市公司高管，但规定了高管应具备的条件和不得担任高管的情形。如高管应具备良好的诚信记录和专业能力，不得有因违法行为被吊销执业资格等情形。
证券监管法规：
- 证券监管机构（如中国证监会）可能会根据具体情况制定相关规则，对受到行政处罚的人员担任上市公司高管进行限制。例如，对于受到市场禁入处罚的人员，禁入期间内不得担任上市公司高管。
公司章程与内部规定：
- 上市公司章程及内部规定也可能对高管任职资格有额外要求，包括受到行政处罚后的任职限制等。
三、实际操作与建议
了解具体处罚情况：
- 首先需要了解董事会秘书受到的具体行政处罚类型、严重程度以及处罚机关的意见。
咨询专业法律意见：
- 建议董事会秘书或相关方咨询专业律师，以获取针对具体处罚情况的法律意见和合规建议。
关注法律法规更新：
- 法律法规可能会随着时间和市场环境的变化而更新，因此需要持续关注相关法律法规的动态，以确保合规性。
积极改正与合规建设：
- 如果董事会秘书希望未来继续担任上市公司高管，应积极改正错误、加强合规建设，并努力提升自己的专业能力和诚信记录。