在公立医院打针导致患者死亡，责任归属需根据具体情况判断，但通常涉及医院、医务人员及相关监管部门的责任认定与处理。以下从不同角度详细分析：

1. 医院责任

• 法律基础：根据《民法典》第一千二百一十八条，患者在诊疗活动中受到损害，医疗机构或其医务人员有过错的，由医疗机构承担赔偿责任。公立医院作为医疗服务提供者，有义务确保诊疗行为的正确性和安全性。
• 责任情形：若打针过程中存在操作失误（如药物剂量错误、药物过敏未排查、注射部位错误等），或未履行告知义务（如未告知药物风险、未取得患者或家属同意等），医院需承担民事赔偿责任。
• 赔偿范围：包括死亡赔偿金、丧葬费、被扶养人生活费、精神损害抚慰金等，具体金额需结合患者年龄、收入、家庭情况等因素计算。例如，死亡赔偿金通常按当地上一年度城镇居民人均可支配收入或农村居民人均纯收入标准，计算20年（60周岁以上每增加1岁减少1年，75周岁以上按5年计算）。

2. 医务人员责任

• 行政责任：若医务人员存在违规操作或过失行为，卫生健康主管部门可依据《医师法》《医疗事故处理条例》等法规，对其给予警告、暂停执业、吊销执业证书等行政处罚。
• 刑事责任：若医务人员因严重不负责任（如故意违反诊疗规范、疏忽大意导致患者死亡），可能构成《刑法》第三百三十五条规定的“医疗事故罪”，面临三年以下有期徒刑或拘役的刑事处罚。

3. 监管部门责任

• 卫生健康行政部门：作为医院的主管部门，需立即介入调查，核实是否存在医疗过失或违规行为。若医院存在管理漏洞（如药品管理混乱、医务人员培训不足等），可对医院进行行政处罚，并责令整改。
• 公安机关：若医疗事故涉及刑事犯罪（如医务人员故意伤害、过失致人死亡等），公安机关需立案侦查，收集证据，确定是否构成犯罪。

4. 纠纷解决途径

• 协商调解：患者家属可与医院协商赔偿事宜，或申请医疗纠纷人民调解委员会介入调解。调解委员会会依据法律法规和事实情况，组织双方协商，促成赔偿协议。
• 司法途径：若协商或调解无果，患者家属可向法院提起民事诉讼，要求医院承担赔偿责任。法院会委托医疗损害鉴定机构对医疗行为进行鉴定，以确定医院应承担的赔偿责任比例和金额。

5. 综合建议

• 及时取证：患者家属应保留好相关证据（如病历、用药记录、监控录像等），以便后续维权。
• 多渠道维权：可通过与医院协商、申请调解、提起诉讼等多种途径寻求解决方案。
• 加强监管：卫生健康主管部门应加强对医疗机构的监管力度，同时加强对医务人员的培训和教育，提高医疗服务质量和安全意识。

总结：公立医院打针导致患者死亡的责任归属需结合具体情形判断，但通常涉及医院、医务人员及相关监管部门的责任。患者家属应通过合法途径维护自身权益，同时相关部门也应加强监管和培训，预防类似事故的再次发生。如有进一步疑问或需要法律帮助，可直接向我咨询。