某一位继承人无权私自处理老人遗留的股票。以下是详细分析：

1. 继承权的共同性：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，继承开始后，所有继承人共同继承遗产，遗产在分割前属于所有继承人共同共有。这意味着，在没有对遗产进行分割之前，任何一位继承人都不能单独处置遗产，包括股票。

2. 私自处理的风险：如果某一位继承人未经其他继承人同意，私自处理了股票，这可能构成对其他继承人继承权的侵害。其他继承人有权要求私自处理者返还所得，或者要求在遗产分割时给予相应的补偿。

3. 合法处理途径：为了合法处理老人的股票，继承人之间应该首先进行协商，达成一致意见。如果协商不成，可以通过法律途径解决，比如向法院提起诉讼，请求法院对遗产进行分割。在分割后，每位继承人就可以根据自己的份额来处置自己所得的股票了。

4. 特殊情况：当然，也存在一些特殊情况。比如，如果老人留下了有效的遗嘱，并且遗嘱中明确指定了某一位继承人来处理股票，那么在这种情况下，被指定的继承人可能有权单独处理股票。但是，这仍然需要其他继承人的认可和配合，否则也可能引发纠纷。

因此，建议继承人在处理老人的股票时，务必遵循法律法规，尊重其他继承人的权益，通过协商或法律途径来解决问题。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。