当有关机关提起公益诉讼后，检察机关通常会根据具体情况进行如下处理，我为您详细说明：

1. 审查与评估
   检察机关首先会对有关机关提起的公益诉讼进行全面审查，包括案件的合法性、证据的充分性以及是否符合公益诉讼的立案条件等。同时，检察机关会评估案件的社会影响、公共利益受损程度等因素，以决定是否支持起诉或采取其他法律措施。

2. 支持起诉
   如果检察机关认为有关机关提起的公益诉讼符合法律规定且有必要进行，它会选择支持起诉。这包括提供法律意见、协助调查取证、出席法庭支持公诉等。检察机关的支持可以增强公益诉讼的力度，提高案件胜诉的可能性。

3. 补充起诉或另行起诉
   在某些情况下，检察机关可能发现有关机关提起的公益诉讼存在遗漏或不足，例如未涵盖所有受损的公共利益、证据不够充分等。此时，检察机关可以选择补充起诉，即向法院提出增加诉讼请求或补充证据；或者，如果认为有必要，检察机关也可以另行提起公益诉讼，以更全面地保护公共利益。

4. 监督与跟进
   无论检察机关是否支持起诉或另行起诉，它都会对公益诉讼的进展进行持续监督。这包括关注法院的审理情况、判决结果以及执行情况等。如果发现法院的判决或执行存在不当之处，检察机关有权提出抗诉或检察建议，以维护公共利益的实现。

5. 跨部门协作与信息共享
   在处理公益诉讼过程中，检察机关还会与其他相关部门（如环保、市场监管等）保持密切协作，共同打击侵害公共利益的行为。同时，检察机关也会与其他司法机关（如法院、公安机关等）进行信息共享和沟通协调，以确保公益诉讼的顺利进行和有效执行。

总结来说，检察机关在有关机关提起公益诉讼后，会根据案件的具体情况进行审查评估、支持起诉、补充起诉或另行起诉、监督与跟进以及跨部门协作与信息共享等处理措施。这些措施旨在全面、有效地保护公共利益，维护社会公平正义。如果您有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。