在申请财产保全的情况下，被告子女的银行卡通常不会被直接冻结，但存在特定情形下可能被冻结的情况。以下是对这一问题的详细分析：
一、一般原则：财产保全的针对性
财产保全，是指人民法院在利害关系人起诉前或者当事人起诉后，为保障将来的生效判决能够得到执行或者避免财产遭受损失，对当事人的财产或者争议的标的物，采取限制当事人处分的强制措施。根据这一原则，财产保全通常只针对被告本人的财产，包括其名下的银行存款、房产、车辆等。因此，在一般情况下，被告子女的银行卡不会被直接冻结。
二、特定情形：财产混同或转移
尽管存在上述一般原则，但在某些特定情形下，被告子女的银行卡可能被冻结。这主要发生在以下两种情况：
财产混同：如果被告与其子女之间存在财产混同的情况，即被告将自己的财产转移至子女名下，以逃避债务或执行，那么在这种情况下，法院可能会认定子女名下的财产实际上属于被告所有，从而对其进行冻结。但这种情况需要充分的证据支持，如转账记录、交易凭证等，以证明财产混同的事实。
恶意转移财产：如果被告在诉讼前或诉讼过程中，恶意将其财产转移至子女名下，以规避法院的执行措施，那么法院在查明事实后，也有权对子女名下的相关财产进行冻结。这同样需要充分的证据来证明被告存在恶意转移财产的行为。
三、法律程序与救济途径
如果被告子女的银行卡被错误地冻结，他们可以通过以下途径来维护自己的合法权益：
提出异议：被告子女可以向法院提出书面异议，说明自己并非案件的当事人，且银行卡内的资金属于自己的合法财产，与案件无关。法院在收到异议后，会进行审查并作出相应的处理。
申请复议：如果被告子女对法院的冻结决定不服，还可以在收到冻结通知后的一定期限内（通常为五日或十日，具体根据法律规定而定）向法院申请复议。法院在收到复议申请后，会进行复议审查，并作出维持或撤销原冻结决定的裁定。
四、建议与注意事项
保留证据：如果被告子女认为自己的银行卡被错误地冻结，应尽快收集并保留相关证据，如转账记录、交易凭证、收入证明等，以证明银行卡内的资金属于自己的合法财产。
及时咨询：在面临财产保全或银行卡被冻结的情况时，建议及时咨询专业律师（比如我，阮芳律师，专注于离婚财产纠纷、合同纠纷、民间借贷领域），以了解自己的权利和义务，并寻求合适的法律救济途径。
遵守法律程序：在提出异议或申请复议时，应严格遵守法律程序和时间要求，以确保自己的权益得到及时有效的维护。