针对您提出的“用人单位没给员工签合同又被解雇，如何补偿”的问题，这确实是一个涉及劳动者权益的重要议题。以下是我为您详细梳理的解答：
一、未签订书面劳动合同的赔偿
入职不超过一个月：
- 若您入职不满一个月即被解雇，且解雇理由不符合法定情形（如试用期不合格但需有明确约定、严重违反规章制度等），用人单位虽不需因未签合同支付额外赔偿，但需按非法解除劳动合同支付赔偿金。不过，这种情况较为特殊，因为通常用人单位会在一个月内与劳动者签订合同。
入职超过一个月不满一年：
- 根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与您签订书面劳动合同的，应向您每月支付二倍的工资。例如，若您工作了6个月后被解雇且未签合同，用人单位除支付您正常的6个月工资外，还需额外支付5个月的工资作为赔偿（但最多支持11个月的双倍工资差额）。
入职超过一年：
- 若您在用人单位工作满一年仍未签订书面劳动合同，根据《劳动合同法》第十四条，将视为已订立无固定期限劳动合同。此时，若用人单位解雇您，需按解除无固定期限合同的规定支付赔偿金。
二、被解雇的赔偿
合法解雇：
- 若用人单位有合法解雇理由（如您严重违反规章制度、失职等，符合《劳动合同法》第三十九条规定的情形），则用人单位无需支付经济补偿金。但若涉及未签合同情况，用人单位仍需按未签合同规定支付双倍工资差额。
- 若因您患病或非因工负伤等法定情形（《劳动合同法》第四十条）解雇，用人单位需提前三十日通知或额外支付一个月工资，并按工作年限支付经济补偿金（每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年按一年计，不满六个月支付半个月工资）。
非法解雇：
- 若用人单位无正当理由解雇您，属于违法解除劳动合同。根据《劳动合同法》第八十七条，用人单位需按经济补偿标准的二倍向您支付赔偿金。例如，若您工作了3年被非法解雇，用人单位需支付您6个月工资作为赔偿金。
三、证据收集与维权途径
证据收集：
- 在主张赔偿时，您必须收集能证明劳动关系存在的证据，如工作证、考勤记录、工资支付记录、同事证言、解雇通知书、沟通录音或电子邮件等。这些证据对于劳动仲裁或诉讼至关重要。
维权途径：
- 若与用人单位无法就赔偿达成一致，您可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求支付未签合同的双倍工资、经济赔偿金等。仲裁时效为一年，从离职之日起计算。
- 申请仲裁时，您需携带劳动仲裁申请书、身份证复印件、相关证据及用人单位的工商注册信息等材料。
- 若对仲裁结果不服，您还可向法院提起诉讼，一审普通程序审理期限为6个月。
四、注意事项
- 时效风险：双倍工资差额的主张存在1年仲裁时效限制，因此您需及时维权，以免错过时效。
- 地区差异：代通知金在部分省市（如北京、上海）适用于特定情形，您需核查当地规定以确定是否可主张。
- 社保补缴：您还可同时主张补缴工作期间的社会保险费用，以保障自己的全面权益。
综上所述，未签订劳动合同被解雇的劳动者，应充分了解自己的权益和救济途径。在主张赔偿时，需根据具体情况确定赔偿项目和数额，并充分收集证据以支持自己的主张。希望这些解答能对您有所帮助。