结论：公司没破产前和第三方管理人签订的合同，在符合一定条件下是可以起诉管理人的。下面我将从多个角度为您详细分析。
一、合同效力与起诉基础
合同效力：首先，需要确认公司与第三方管理人签订的合同是否具有法律效力。如果合同是双方真实意思表示，且不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗，那么该合同是有效的。有效的合同是起诉的基础，因为只有有效的合同才能产生法律上的权利和义务。
起诉条件：在合同有效的基础上，如果管理人存在违约行为或者侵犯了公司的合法权益，公司就有权根据合同约定或者法律规定向法院提起诉讼。起诉的条件通常包括：原告是与本案有直接利害关系的公民、法人或其他组织；有明确的被告；有具体的诉讼请求和事实、理由；属于人民法院受理民事诉讼的范围和受诉人民法院管辖。
二、起诉管理人的具体情形
违约行为：如果管理人未按照合同约定履行义务，如未按时提供服务、提供的服务不符合质量标准等，公司可以依据合同中的违约条款要求管理人承担违约责任，包括赔偿损失、支付违约金等。在这种情况下，公司有权向法院提起诉讼，要求管理人履行合同义务或者赔偿损失。
侵权行为：如果管理人的行为不仅违反了合同约定，还侵犯了公司的合法权益，如泄露公司商业秘密、侵占公司财产等，公司可以依据侵权责任法的规定要求管理人承担侵权责任。在这种情况下，公司同样有权向法院提起诉讼，要求管理人停止侵害、赔偿损失等。
三、起诉前的准备与注意事项
收集证据：在起诉前，公司需要收集充分的证据来证明管理人的违约行为或侵权行为。这些证据可能包括合同文本、交易记录、通信记录、证人证言等。证据的充分性和真实性对于诉讼的成败至关重要。
评估诉讼风险：在决定起诉前，公司还需要评估诉讼风险，包括诉讼成本、诉讼周期、胜诉可能性等。如果诉讼成本过高或者胜诉可能性较低，公司可能需要考虑其他解决纠纷的方式，如协商、调解等。
选择合适的诉讼策略：根据具体情况，公司可以选择不同的诉讼策略。例如，如果管理人存在多项违约行为或侵权行为，公司可以选择一并起诉；如果管理人只存在部分违约行为或侵权行为，公司可以选择分别起诉或者先起诉部分行为。
四、法律建议
及时咨询专业律师：在决定起诉前，公司应及时咨询专业律师，了解相关法律规定和诉讼程序，以便更好地维护自己的合法权益。
保持冷静与理性：在处理纠纷时，公司应保持冷静与理性，避免情绪化决策。通过合法途径解决纠纷是维护公司利益的最佳方式。
如果您在公司法务方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会根据您的具体情况提供专业的法律意见和解决方案。