重大行政决策的法定程序是一个严谨且全面的过程，旨在确保决策的科学性、民主性和合法性。这一过程涵盖了多个关键环节，下面我将为您详细解析这些程序：

一、决策启动

决策启动是重大行政决策的第一步，它源于政府部门、公民、法人或其他组织提出的决策建议。这些建议需要明确具体，涵盖事项名称、理由、依据及初步解决方案。行政机关会对这些建议进行筛选评估，符合标准的则通过集体研究确定是否列入重大行政决策事项。

二、公众参与

公众参与是重大行政决策中不可或缺的一环，它体现了决策的民主化，确保决策能够反映民意、集中民智。公众参与的方式多种多样，包括公开征求意见、听证会、座谈会等。在公开征求意见时，政府会通过多种渠道公布决策信息，征求公众意见，且征求意见期限一般不少于30日。对于涉及公共利益、有重大分歧或影响社会稳定的事项，还会举行听证会，提前公布信息，确定听证参加人，充分听取并记录意见。

三、专家论证

专家论证为决策提供了科学、专业的技术支持。政府会根据决策内容选取或邀请相关领域的专家组成专家团队，这些专家需要具备独立性和代表性，能够客观公正地进行论证。专家团队会对决策的必要性、可行性等进行全面研究讨论，并形成书面论证意见，为决策提供科学依据。

四、风险评估

风险评估是预防决策带来潜在风险的重要环节。政府会通过问卷调查、实地调研、数据分析等方式，全面评估决策可能引发的经济、社会、环境等风险，并制定相应的风险防范和应对措施。风险评估报告会包含风险因素识别、分析、评估结论及应对建议，作为决策的重要依据。

五、合法性审查

合法性审查是确保决策内容符合法律法规的关键步骤。这一环节通常由政府法制机构或法律顾问负责，审查内容包括决策主体是否合法、决策权限是否适当、决策内容是否与法律法规相抵触、决策程序是否符合法定要求等。

六、集体讨论决定

集体讨论决定是确保决策民主性和科学性的重要保障。重大行政决策应当经政府常务会议或全体会议等集体讨论决定。在讨论过程中，参会人员应充分发表意见，对决策草案进行深入研究，并按照少数服从多数的原则作出决策。

七、决策公布与后评估

决策公布是为了保障公众的知情权，接受社会监督。政府会通过多种媒体渠道及时、准确地向社会公布决策内容、决策依据、决策过程等信息。此外，决策后评估也是检验决策效果、及时调整和完善决策的重要环节。政府会通过问卷调查、实地调研、数据分析等方式对决策的实施效果、社会影响等进行评估，并根据评估结果对决策进行调整和优化。

综上所述，重大行政决策的法定程序是一个系统化、规范化的过程，各环节相互关联、紧密配合，共同确保决策的科学性、民主性与合法性。这一程序的严格执行对于提高政府决策的质量和效率、维护公共利益和社会稳定具有重要意义。