当继承人选择放弃继承遗产时，对于被继承人遗留的债务，其处理方式主要遵循以下法律原则和实践操作，我将为您详细阐述：

一、基本原则

1. 限定继承原则：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，继承人仅在其继承的遗产范围内承担被继承人依法应当缴纳的税款和债务。若遗产实际价值不足以清偿全部债务，继承人无需承担超出部分，除非其自愿偿还。
   • 当继承人放弃继承时，他们通常不再对被继承人的债务承担责任，因为放弃继承意味着不再接受被继承人的财产，从而也不应承担其债务。

2. 放弃继承与债务免除：

   • 继承人放弃继承后，即免除了对被继承人债务的清偿责任。这是法律对继承人权益的保护，避免其因继承而承担不必要的债务负担。

二、具体操作流程

1. 明确放弃继承的意愿：

   • 继承人需要在法定期限内（如自知道或应当知道其权利受到侵犯之日起的一定时间内，或知道受遗赠后六十日内）明确表示放弃继承的意愿。
   • 放弃继承的声明应当以书面形式作出，并可以提交给相关机构（如法院、公证处等）进行备案或公证，以确保其法律效力。

2. 通知债权人和其他相关方：

   • 继承人放弃继承后，应及时通知债权人和其他可能受影响的利益相关方。这有助于债权人及时了解情况，避免不必要的法律纠纷和误解。

3. 处理遗产中的债务：

   • 遗产清算：在存在有效遗嘱执行人或遗产管理人的情况下，由其对遗产进行清算。清算过程中需优先清偿被继承人的债务及应缴税款。
   • 债务清偿顺序：根据法律规定，遗产债务清偿遵循特定顺序，包括共益费用、职工工资、社会保险费用、税款及普通债务等。若遗产不足以清偿全部债务，债权人按比例受偿。
   • 剩余财产分配：在清偿完所有债务和税款后，剩余财产将按照法定顺序进行分配。若继承人已放弃继承，则不再参与剩余财产的分配。

4. 办理相关手续：

   • 继承人可能需要协助处理与被继承人债务相关的法律手续，如提供必要的文件和信息等。但这并不意味着继承人需要承担债务责任。

三、特殊情况下的责任界定

• 若继承人虽书面放弃继承，但实际占有或使用遗产且未履行管理义务导致损失，可能需对债权人承担赔偿责任。
• 继承人故意隐匿、侵吞遗产或伪造债务等行为将丧失继承权，并可能面临法律责任。

四、建议

• 在处理放弃继承和债务问题时，建议继承人咨询专业律师或法律机构，以确保其权益得到充分保护。
• 继承人应保留好所有相关文件和证据，如放弃继承的书面声明、通知债权人的记录等，以备不时之需。

综上所述，当继承人选择放弃继承遗产时，他们通常不需要对被继承人的债务承担责任。但为确保法律程序的顺利进行和避免不必要的纠纷，继承人应遵循上述原则和操作流程，并在必要时寻求专业法律帮助。