结论：关于您公司兼职人员是否可以申报连续劳务的问题，这主要取决于兼职人员与公司的具体用工关系以及相关法律法规的适用情况。以下是从不同角度进行的分析：
用工关系判断：
- 非全日制用工：如果兼职人员与您公司签订的是非全日制劳动合同，且符合非全日制用工的特征（如每日工作时间不超过4小时，每周工作时间累计不超过24小时），那么这种用工关系通常不被视为连续劳务关系，而是按照非全日制用工来管理。在此情况下，兼职人员可能无法直接申报连续劳务，但可以按照非全日制用工的相关规定享受相应的权益。
- 全日制用工的兼职情况：如果兼职人员虽然在公司从事兼职工作，但实际上与另一家公司存在全日制劳动关系，且其兼职工作并未影响全日制工作的正常进行，同时兼职工作也符合相关法律法规的规定（如未违反竞业限制等），那么这种兼职情况可能被视为一种额外的劳务关系。然而，这并不意味着兼职人员可以自动申报连续劳务，而是需要根据具体情况来判断其是否符合连续劳务的申报条件。
- 事实劳动关系：如果兼职人员与公司之间虽然未签订书面劳动合同，但已经形成了事实上的劳动关系（如长期、稳定地为公司提供劳务，且公司也接受了这种劳务），那么这种关系可能被视为一种连续的劳务关系。在此情况下，兼职人员有可能根据相关法律法规的规定申报连续劳务。
法律法规适用：
- 连续劳务的认定：连续劳务通常指的是劳动者在一段时间内持续、稳定地为用人单位提供劳务，且这种劳务关系具有一定的连续性和稳定性。在认定连续劳务时，会考虑劳务关系的持续时间、劳务内容的稳定性、劳务报酬的支付方式等因素。
- 申报条件：如果兼职人员希望申报连续劳务，需要满足相关法律法规规定的条件。这些条件可能包括但不限于：劳务关系的持续时间、劳务合同的签订情况、劳务报酬的支付记录等。具体条件可能因地区和行业而异，因此需要参考当地的法律法规和政策规定。
建议与操作：
- 明确用工关系：首先，建议您公司明确与兼职人员的用工关系，签订书面劳动合同或劳务协议，明确双方的权利和义务。这有助于避免潜在的劳动纠纷和法律风险。
- 咨询当地劳动部门：由于连续劳务的认定和申报条件可能因地区而异，因此建议您公司咨询当地的劳动部门或相关机构，了解具体的申报流程和条件。
- 保留相关证据：在兼职人员提供劳务的过程中，建议您公司保留相关的证据和记录，如劳务合同、劳务报酬支付记录、工作记录等。这些证据和记录在申报连续劳务或处理劳动纠纷时可能起到关键作用。
后续思考：在处理兼职人员与公司的劳务关系时，除了关注是否可以申报连续劳务外，还需要考虑其他方面的法律风险和合规问题。例如，确保兼职人员的工资支付、社会保险缴纳、工作时间安排等符合相关法律法规的规定。如果您在处理这些问题时遇到任何疑问或困难，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。