在案外人执行异议之诉期间，若需申请继续评估拍卖，该申请应当提交给负责执行该案件的法院执行局。以下是对此问题的详细分析：

1. 执行异议之诉与执行程序的关系：

   • 执行异议之诉是案外人对执行标的提出书面异议后，对法院裁定不服而提起的诉讼。这一诉讼的目的是为了阻止或确认执行标的的转让、交付等执行行为。
   • 在执行异议之诉期间，原执行程序原则上并不停止，除非法院依法裁定中止执行。因此，如果案外人希望继续推进评估拍卖等执行行为，需要向执行法院提出申请。

2. 申请继续评估拍卖的提交对象：

   • 根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释的规定，执行程序由法院的执行局负责。因此，任何与执行程序相关的申请，包括继续评估拍卖的申请，都应当提交给执行法院的执行局。
   • 提交申请时，应明确说明申请继续评估拍卖的理由和依据，并提供相关证据材料，以便执行法院能够全面了解情况并作出决定。

3. 申请继续评估拍卖的注意事项：

   • 及时提交：在执行异议之诉期间，如果案外人认为继续评估拍卖是必要的，应及时向执行法院提出申请，以免错过最佳时机。
   • 充分准备：提交申请时，应确保申请内容充分、理由充分、证据充分，以提高申请被批准的可能性。
   • 遵守程序：在申请过程中，应严格遵守法院的程序规定，如提交申请的期限、方式等，以免因程序问题导致申请被驳回。

4. 可能面临的法律后果：

   • 如果申请被批准，执行法院将继续推进评估拍卖等执行行为，案外人需配合执行法院的工作。
   • 如果申请被驳回，案外人可以根据具体情况考虑是否采取其他法律措施，如上诉、申请复议等。

建议：在提交申请前，案外人可以咨询专业律师（如我，裴育律师，专注于公司事务、经济纠纷、合同纠纷、行政纠纷、拆迁安置领域），以获取更具体的法律建议和指导。同时，在申请过程中，案外人应保持与执行法院的沟通联系，及时了解申请进展情况并作出相应调整。