结论：孩子在学校上体育课时突发脑梗，学校是否需要承担责任，不能一概而论，需根据具体情况判断学校是否存在过错以及过错与损害结果之间的因果关系。以下从不同角度进行分析：
一、学校承担责任的一般原则
根据《中华人民共和国民法典》第一千二百条：“限制民事行为能力人在学校或者其他教育机构学习、生活期间受到人身损害，学校或者其他教育机构未尽到教育、管理职责的，应当承担侵权责任。”这一条款确立了学校在学生受到人身损害时承担责任的一般原则，即学校需证明其已尽到教育、管理职责，否则应承担相应责任。
二、学校可能承担责任的情形
学校未尽到安全保障义务：
- 如果学校在体育课上未提供必要的安全设施，如急救设备、防护措施等，或者未对学生进行必要的安全教育，导致学生在突发脑梗时未能得到及时救治，学校可能因未尽到安全保障义务而承担责任。
- 例如，学校体育场地存在安全隐患，如地面不平整、有障碍物等，导致学生在运动中摔倒并引发脑梗，学校可能需承担部分责任。
学校未及时采取救助措施：
- 如果学生在体育课上突发脑梗，学校工作人员未及时发现或未采取必要的救助措施，如未立即拨打急救电话、未进行初步急救处理等，导致学生病情加重，学校可能因未及时救助而承担责任。
学校存在其他过错：
- 如果学校在体育课的安排、组织或管理上存在其他过错，如安排不适合学生年龄或身体状况的运动项目、未对学生进行健康检查等，导致学生突发脑梗，学校也可能需承担相应责任。
三、学校可能不承担责任的情形
学生自身健康原因：
- 如果学生突发脑梗是由于其自身健康原因，如先天性血管畸形、高血压等，且学校已尽到合理的教育、管理职责，如对学生进行健康检查、提供安全的教育环境等，学校可能不承担责任。
不可抗力或意外事件：
- 如果学生突发脑梗是由于不可抗力或意外事件，如自然灾害、突发疾病等，且学校无法预见、无法避免且无法克服，学校可能不承担责任。但需注意，学校仍需尽到及时的救助义务。
四、建议与后续行动
收集证据：
- 如果家长认为学校应承担责任，应尽快收集相关证据，如医疗记录、现场照片、证人证言等，以证明学校存在过错或未尽到教育、管理职责。
协商与调解：
- 家长可以与学校进行协商，寻求和解或调解。如果协商无果，可以考虑向教育行政部门投诉或寻求法律援助。
法律途径：
- 如果家长认为学校的行为构成侵权，且协商、调解无果，可以向人民法院提起诉讼，要求学校承担相应的赔偿责任。
在处理此类案件时，建议家长咨询专业律师，以便更准确地评估案件情况、收集证据并制定合适的诉讼策略。如果你有进一步的法律问题或需要更详细的法律建议，可以直接向我咨询。