当遇到两个儿子都不赡养老人的情况时，这确实是一个棘手且需要细致处理的问题。以下是我为您整理的一些建议，希望能帮助您妥善解决这一问题：
一、明确法律义务与责任
首先，要明确的是，赡养老人是子女的法定责任。根据《中华人民共和国民法典》和《老年人权益保障法》的相关规定，成年子女有义务对老年人进行经济上的供养、生活上的照料和精神上的慰藉。这一责任不因任何理由而免除，即使子女与父母之间存在矛盾或分歧，也不能成为拒绝赡养的借口。
二、尝试家庭内部协商与调解
家庭内部协商：
- 尝试组织一次家庭会议，邀请两个儿子共同参与，坦诚地表达老人的赡养需求和期望。
- 在会议中，可以共同商讨一个合理的赡养计划，明确每个子女的责任和义务，包括经济支持、生活照料和精神慰藉等方面。
第三方调解：
- 如果家庭内部协商无果，可以考虑邀请社区居委会、村委会或人民调解委员会等第三方机构介入调解。
- 第三方调解员通常具有丰富的调解经验和专业知识，能够协助双方达成和解协议，化解矛盾。
三、依法提起诉讼追索赡养费
准备诉讼材料：
- 收集相关证据，如老人的身份证明、经济状况证明（如低保证明）、医疗支出凭证等，以证明其需要赡养的事实和费用。
- 这些证据将有助于法院了解老人的实际情况，并作出公正的判决。
向法院起诉：
- 向有管辖权的法院提起民事诉讼，要求两个儿子支付赡养费。
- 在诉讼过程中，需明确诉讼请求（如每月支付的赡养费金额）和事实理由，以便法院进行审理。
法院判决与执行：
- 法院将根据法律规定和实际情况作出判决，要求子女履行赡养义务。
- 如果子女拒不执行判决，老人可以申请强制执行，通过变卖子女财产等方式实现债权。
四、申请法律援助与社会救助
法律援助：
- 如果老人经济困难且符合法律援助条件，可以向当地法律援助中心申请免费律师服务。
- 法律援助中心将指派专业律师为老人提供法律咨询和代理服务，降低维权成本。
社会救助：
- 向民政部门申请特困人员供养、临时救助等社会保障措施，以缓解生活压力。
- 同时，可以联系慈善组织获取物资帮扶，如食品、衣物等生活必需品。
五、强化亲情沟通与教育引导
情感沟通：
- 通过亲属、朋友等渠道传递老人的真实处境和情感需求，唤醒子女的责任意识。
- 有时候，子女可能因为工作繁忙或其他原因而忽略了老人的需求，通过情感沟通可以让他们更加关注老人的生活状况。
法治教育：
- 向子女普及赡养义务的法律规定和社会伦理要求，让他们明白赡养老人是他们的法定义务和社会责任。
- 必要时，可以联合社区开展普法宣传活动，提高子女的法律意识和道德观念。
综上所述，处理两个儿子都不赡养老人的问题需要综合运用法律、调解、社会救助和亲情沟通等多种手段。希望这些建议能够帮助您妥善解决这一问题，让老人得到应有的赡养和关怀。