当公司与员工未签订劳动合同且辞退员工时，关于赔偿的问题，我们可以从以下几个方面进行详细分析：

一、未签订劳动合同的赔偿

根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，如果公司自用工之日起超过一个月不满一年未与员工签订书面劳动合同，那么公司需要向员工每月支付二倍的工资作为赔偿。这个赔偿的计算基数是员工对应月份的应得工资，并且支付时间最长为11个月。例如，如果员工在2024年1月1日入职，而公司一直未与其签订劳动合同，那么从2024年2月1日起至2024年12月31日，公司需要支付二倍的工资。

二、违法辞退的赔偿

如果公司无故辞退员工，且该员工并无过错，那么这种行为就构成了违法解除劳动合同。根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条的规定，公司需要按照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。经济补偿的计算标准是按照员工在本公司工作的年限来确定的，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。这里的月工资是指员工在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

举例说明：假设员工在公司工作了3年零4个月，月平均工资为5000元，如果公司违法辞退该员工，那么公司应支付的赔偿金为：5000元/月 × 3.5年 × 2 = 35000元。

三、合法辞退且无需赔偿的情况

当然，也存在一些合法辞退员工且无需支付赔偿金的情况。根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定，如果员工存在试用期间被证明不符合录用条件、严重违反公司规章制度、严重失职营私舞弊给公司造成重大损害等情形，公司可以合法辞退员工且无需支付经济补偿金。但在此类情况下，公司需要确保有充分的证据支持其辞退决定，以避免潜在的劳动争议。

四、维权途径与建议

如果员工认为自己的权益受到了侵害，可以通过以下途径进行维权：

1. 协商解决：首先尝试与公司进行友好沟通，看是否能够达成共识并解决问题。
2. 申请仲裁：如果协商无果，员工可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司支付未签合同的二倍工资、赔偿金或经济补偿等。
3. 专业咨询：在维权过程中，建议员工咨询专业的律师或劳动仲裁机构，以获取更具体的法律指导和帮助。

综上所述，当公司与员工未签订劳动合同且辞退员工时，赔偿问题的处理需要综合考虑多个因素。员工应了解自己的合法权益，并在必要时采取适当的维权措施来保障自身利益。同时，公司也应遵守相关法律法规，确保劳动关系的和谐稳定。