结论：在此情况下，家属可以报案。
法律背景与解释：
报案的权利与义务：
- 根据我国《刑事诉讼法》的相关规定，任何单位和个人发现有犯罪事实或者犯罪嫌疑人，都有权利也有义务向公安机关报案或者举报。这意味着，报案不仅是受害者的权利，也是其家属、朋友乃至任何公民的权利和义务。
家属报案的合法性：
- 在当事人不愿意报案的情况下，家属作为与案件有利害关系的人，完全有权向公安机关报案。公安机关在接到报案后，会依法进行调查，并根据调查结果决定是否立案。
轻伤的法律后果：
- 轻伤已经构成了刑事犯罪中的故意伤害罪（根据伤害程度可能涉及其他罪名，但轻伤通常对应故意伤害罪）。这意味着，打人者已经触犯了刑法，应当受到相应的刑事处罚。
报案后的流程：
- 家属报案后，公安机关会依法受理，并进行初步调查。如果调查发现确实存在犯罪事实，且需要追究刑事责任，公安机关会立案侦查。在侦查过程中，公安机关会收集证据，查明事实真相，并最终将案件移送检察机关审查起诉。
法律建议：
及时报案：
- 鉴于轻伤已经构成刑事犯罪，建议家属尽快向公安机关报案，以便公安机关及时介入调查，保护当事人的合法权益。
配合调查：
- 在报案后，家属应积极配合公安机关的调查工作，提供必要的证据和信息，协助公安机关查明事实真相。
关注案件进展：
- 家属应关注案件的进展情况，及时与公安机关沟通，了解案件的处理结果。如果案件进入诉讼程序，家属还可以考虑聘请律师为当事人提供法律帮助。
考虑民事赔偿：
- 除了刑事责任外，打人者还应当承担民事赔偿责任。家属可以代表当事人向打人者提出民事赔偿请求，要求其赔偿因伤害造成的经济损失和精神损害。
可能的法律后果：
- 如果打人者被认定构成故意伤害罪，其可能面临有期徒刑、拘役或者管制等刑事处罚。
- 同时，打人者还需要承担民事赔偿责任，赔偿当事人的医疗费、误工费、护理费等经济损失以及精神损害抚慰金等。
进一步思考：
- 在处理此类案件时，除了关注法律后果外，还应考虑当事人的心理和情感需求。家属可以给予当事人足够的关心和支持，帮助其度过难关。
- 如果当事人对报案或诉讼过程存在疑虑或担忧，家属可以寻求专业律师的帮助，为当事人提供法律咨询和代理服务。
总之，家属在当事人不愿意报案的情况下，完全有权向公安机关报案。报案后，应积极配合公安机关的调查工作，并关注案件的进展情况。如有需要，还可以考虑聘请律师为当事人提供法律帮助。