您好，针对您提出的美容院没有医疗资质应由哪个部门管理的问题，我可以给您一个详细且清晰的解答。

首先，需要明确的是，医疗美容服务属于医疗活动范畴。根据相关规定，任何单位和个人，如果不具备法定条件，即未依法取得卫生健康行政部门发放的《医疗机构执业许可证》或者“诊所备案凭证”，是不得开展医疗美容服务的。

对于美容院没有医疗资质的情况，这主要涉及到卫生健康行政部门的监管。卫生健康行政部门负责发放《医疗机构执业许可证》或者“诊所备案凭证”，并加强医疗美容诊所的备案信息管理，同时强化诊疗质量控制，严把行业准入关。因此，如果美容院未取得相应的医疗资质而擅自开展医疗美容服务，那么卫生健康行政部门是有权进行监管和处罚的。

此外，市场监管部门也在这方面发挥着重要作用。他们负责指导美容院等经营主体在登记经营范围时，明确是否包含医疗美容服务，并依法履行“双告知”职责，即告知申请人开展医疗美容服务需要申请审批及相应的审批机关。同时，市场监管部门还会与其他部门联合开展专项治理行动，打击医疗美容行业的乱象，如虚假宣传、非法生产销售医疗美容药品和器械等。

概括起来，美容院没有医疗资质的问题主要由卫生健康行政部门进行监管，同时市场监管部门也在这方面发挥着重要的协同作用。如果您发现某家美容院存在没有医疗资质而擅自开展医疗美容服务的情况，可以向当地的卫生健康行政部门或市场监管部门进行举报和投诉。

希望这个解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的咨询，请随时告诉我。