能否开除需分情况讨论，主要取决于教师身份性质及学校规章制度，具体分析如下：

1. 若教师为公办学校在编人员
   根据《事业单位工作人员处分暂行规定》第二十一条，“组织、参与卖淫、嫖娼等色情活动”属于可给予警告、记过、降低岗位等级或撤职、开除处分的情形。但需注意：

   • 出轨行为本身不直接等同于“色情活动”，需结合具体情节（如是否长期同居、是否以金钱交易为前提等）判断是否构成违法或违反公序良俗的严重程度。
     
   • 学校需依据内部规章制度启动调查程序，若教师行为严重损害师德形象或引发社会舆论，学校可依据《中小学教师违反职业道德行为处理办法》等规定，经教职工代表大会或工会审议后，报教育主管部门批准开除。
     
   • 程序合法性是关键：开除决定需经法定程序（如听取教师陈述申辩、工会意见等），否则可能因程序违法被撤销。

2. 若教师为民办学校或培训机构聘用人员

   • 合同约定优先：若劳动合同或聘用协议中明确约定“违反师德或社会公序良俗可解除合同”，学校可直接依据合同开除，无需额外程序。
     
   • 无约定时需谨慎：若合同未明确约定，学校需证明教师行为“严重违反单位规章制度”或“造成重大损害”（如影响学校声誉），否则可能构成违法解除，需支付赔偿金。

3. 若教师行为涉及违法犯罪

   • 如出轨行为伴随重婚、敲诈勒索等犯罪，学校可依据《劳动合同法》第三十九条直接解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
     
   • 若仅违反道德但未违法，学校仍需通过内部程序处理，不能直接以“犯罪”为由开除。

建议：

• 若您是学校方，需固定证据（如聊天记录、证人证言等），严格按程序处理，避免法律风险；
  
• 若您是教师方，可核查学校规章制度及劳动合同条款，必要时通过劳动仲裁维护权益；
  
• 若涉及第三方（如学生家长配偶）主张侵权，可能引发民事赔偿，但与学校开除决定无直接关联。
  

如有进一步细节（如教师身份、学校性质、具体行为情节等），可向我补充说明，我会为您细化分析。