结论：价签与实际购买商品规格不一致，商家是否构成欺诈需视具体情况而定，但一般而言，若商家故意为之且导致消费者误解，则可能构成欺诈。主管部门在处理此类纠纷时，会依据相关法律法规进行调查，并根据调查结果采取相应的处理措施。

详细分析：

1. 商家是否构成欺诈：

   • 欺诈的构成要件：欺诈通常要求商家有故意隐瞒或虚假陈述的行为，且该行为导致消费者在购买商品时产生误解，并因此遭受损失。在价签与实际购买商品规格不一致的情况下，如果商家是故意标错价签，且这种错误导致消费者购买了不符合其预期的商品，那么商家的行为可能构成欺诈。
   • 非故意情况：如果商家是因为疏忽或错误导致价签与实际商品规格不一致，且能够证明这种不一致并非故意为之，那么商家的行为可能不构成欺诈。但即便如此，商家仍可能因违反消费者权益保护的相关规定而承担一定的法律责任，如退换货、赔偿损失等。

2. 主管部门的处理方式：

   • 调查取证：主管部门在接到消费者投诉后，会首先进行调查取证，包括收集相关证据、询问商家和消费者等，以查明价签与实际商品规格不一致的具体原因和情况。
   • 依法处理：根据调查结果，主管部门会依据相关法律法规进行处理。如果商家的行为构成欺诈，主管部门可能会责令商家改正、罚款、没收违法所得等，并可能要求商家对消费者进行赔偿。如果商家的行为不构成欺诈但违反了其他相关规定，主管部门也会依法进行相应的处理。
   • 消费者权益保护：在处理过程中，主管部门会注重保护消费者的合法权益，确保消费者能够获得公正的待遇和合理的赔偿。

法律建议：

• 消费者角度：如果消费者在购买商品时发现价签与实际商品规格不一致，应首先与商家进行沟通协商，要求商家进行退换货或赔偿损失。如果商家拒绝或无法达成一致，消费者可以向主管部门投诉或寻求法律援助。
• 商家角度：商家应严格遵守相关法律法规和商业道德，确保价签与实际商品规格一致，避免误导消费者。如果发生价签错误等意外情况，商家应积极与消费者沟通协商，妥善解决问题，以维护良好的商业信誉和消费者关系。

可能后果：

• 商家后果：如果商家的行为构成欺诈，可能会面临主管部门的处罚和消费者的索赔，甚至可能影响商家的商业信誉和长期发展。
• 消费者后果：如果消费者能够证明自己的权益受到侵害，并依法进行维权，那么消费者有可能获得相应的赔偿和补偿。但如果消费者无法提供充分证据或超过维权时效，则可能无法获得满意的解决结果。