结论：私自销毁公章后，一般不能仅通过开证明就重新刻制，需要遵循一定的法律程序和规定。
分析说明：
公章的法律意义：
- 公章是公司、企业等组织的重要法律文件签署工具，具有法律效力。私自销毁公章可能涉及违法违规行为，因为这可能影响到公司正常运营和法律文件的真实性、有效性。
重新刻制公章的程序：
- 通常情况下，如果公章遗失、被盗或损坏，需要向当地公安机关备案，并按照规定的程序重新刻制。这通常包括提交相关证明文件（如公司营业执照、法定代表人身份证明等）、填写公章刻制申请表，并经过公安机关审核批准后，方可到指定的公章刻制单位进行刻制。
- 私自销毁公章并不等同于公章遗失、被盗或损坏的合法情形，因此不能简单地通过开证明来重新刻制。
私自销毁公章的法律后果：
- 私自销毁公章可能构成违法行为，如违反公司管理规定、治安管理处罚法等。如果因此导致公司遭受损失或引发法律纠纷，相关责任人可能需要承担法律责任。
- 在重新刻制公章时，如果未经合法程序，即使开具了证明，也可能被视为无效，甚至可能面临法律制裁。
法律建议：
- 立即报案：如果公章被私自销毁，应立即向当地公安机关报案，说明情况并寻求帮助。
- 遵循合法程序：按照当地公安机关的要求，提交相关证明文件，填写公章刻制申请表，并经过审核批准后，到指定的公章刻制单位进行刻制。
- 加强内部管理：公司应加强对公章的管理和保管，建立健全的公章使用和管理制度，防止类似事件再次发生。
后续行动指南：
- 在重新刻制公章前，务必确保已经按照法律程序进行了备案和申请。
- 在日常运营中，加强对公章的使用和管理，确保公章的安全和合法使用。
- 如果遇到任何与公章相关的法律问题或纠纷，应及时咨询专业律师以获取法律帮助。
如有任何进一步的问题或需要更详细的法律建议，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供针对性的解答。