将宠物狗丢弃后，原主人和拾得人的责任承担一般不构成连带责任，而是根据各自的行为和过错程度分别承担相应的责任。以下从不同角度进行分析：
一、原主人的责任
遗弃动物的责任：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千二百四十九条：“遗弃、逃逸的动物在遗弃、逃逸期间造成他人损害的，由动物原饲养人或者管理人承担侵权责任。”
- 这意味着，如果原主人将宠物狗丢弃，且该狗在遗弃期间造成他人损害，原主人需要承担侵权责任。这种责任是基于原主人对动物的饲养和管理义务，以及因遗弃行为导致的动物失控状态。
责任范围：
- 原主人的责任范围通常包括因动物造成的直接损害，如人身伤害、财产损失等。
- 如果原主人能够证明损害是由受害人的故意或者重大过失造成的，可以不承担或者减轻责任。
二、拾得人的责任
拾得后的管理义务：
- 拾得人在拾得遗弃动物后，如果决定饲养或管理该动物，则成为新的管理人，需要承担相应的管理义务。
- 如果拾得人未尽到管理义务，导致动物造成他人损害，拾得人可能需要承担侵权责任。
责任范围：
- 拾得人的责任范围同样包括因动物造成的直接损害。
- 与原主人不同的是，拾得人的责任可能受到其管理行为的影响。例如，如果拾得人采取了合理的安全措施来防止动物造成损害，但损害仍然发生，拾得人的责任可能会相应减轻。
三、不构成连带责任的原因
责任性质不同：
- 原主人的责任是基于遗弃行为导致的动物失控状态，而拾得人的责任是基于其作为新的管理人的管理义务。
- 这两种责任在性质上是不同的，因此不构成连带责任。
过错程度不同：
- 原主人和拾得人在动物造成损害的过程中的过错程度可能不同。
- 连带责任通常要求各方在共同侵权行为中具有相同的过错程度或共同故意，而在此情况下，原主人和拾得人的过错程度可能并不相同。
四、特殊情况下的责任承担
- 如果拾得人在拾得动物后，与原主人共同造成了动物的损害行为（例如，拾得人与原主人共同决定将动物放归野外，导致动物造成他人损害），则可能构成共同侵权，需要承担连带责任。但这种情况较为特殊，需要具体分析。
建议：
- 对于原主人来说，应当妥善处理自己的宠物，避免遗弃行为导致的法律责任。
- 对于拾得人来说，在拾得遗弃动物后，应当及时采取合理的安全措施，防止动物造成损害，并尽快联系相关部门或原主人进行处理。
- 如果发生动物侵权纠纷，建议及时咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。