核心结论：购买商品未签订合同，可通过补签合同、收集交易证据、协商整改方案、寻求第三方调解或通过法律途径解决纠纷等方式进行整改。以下是具体分析：

1. 补签书面合同
   若交易双方仍保持合作意愿，最直接的整改方式是补签书面合同。合同内容应明确商品名称、规格、数量、价格、交付方式、付款时间、违约责任等核心条款，并由双方签字盖章确认。补签合同需注意：

   • 合同日期可写为实际交易日期或补签当日，但需在合同中注明“补签”字样，避免因日期问题引发争议；
     
   • 若原交易存在口头约定或特殊条款，需在补签合同中明确体现，确保双方权利义务一致。

2. 收集交易证据
   若无法补签合同，需通过其他证据证明交易关系存在，包括但不限于：

   • 付款凭证：银行转账记录、收据、发票等；
     
   • 交付凭证：物流单据、签收单、商品照片或视频；
     
   • 沟通记录：微信、邮件、短信等聊天记录中关于商品规格、价格、交付时间的约定；
     
   • 证人证言：第三方见证人（如共同朋友、同事）的书面或录音证言。
     这些证据需形成完整链条，以证明交易的真实性及双方权利义务。

3. 协商整改方案
   若交易已履行部分义务（如已付款但未交付商品，或已交付商品但未付款），双方可协商签订《整改协议》，明确剩余义务的履行时间、方式及违约责任。例如：

   • 约定分期付款或分期交付的时间节点；
     
   • 明确商品质量瑕疵的修复或赔偿方案；
     
   • 约定因一方违约导致合同解除的赔偿标准。
     整改协议需书面化，避免口头约定再次引发纠纷。

4. 寻求第三方调解
   若双方协商无果，可向消费者协会、行业协会或人民调解委员会申请调解。调解的优势在于程序灵活、成本较低，且调解协议经司法确认后具有强制执行力。调解时需注意：

   • 提前整理交易证据及诉求清单；
     
   • 明确调解目标（如退款、换货、赔偿等）；
     
   • 调解协议需双方签字确认，并保留原件。

5. 通过法律途径解决纠纷
   若调解失败或对方拒绝配合，可向法院提起诉讼或申请仲裁（需有仲裁条款）。诉讼时需注意：

   • 诉讼时效：一般民事纠纷诉讼时效为3年，自知道或应当知道权利受损之日起计算；
     
   • 管辖法院：合同纠纷由被告住所地或合同履行地法院管辖；
     
   • 诉讼请求：需明确具体诉求（如继续履行合同、赔偿损失等），并附计算依据。
     若证据充分，法院可能判决对方履行义务或赔偿损失；若对方拒不执行，可申请强制执行。

温馨提示：日常交易中，建议优先签订书面合同，明确双方权利义务，避免后续纠纷。若已发生未签合同的情况，需及时固定证据，降低维权风险。如有具体问题，可直接向我咨询，我会结合您的交易细节提供针对性建议。