结论：在出租方和承租方没有续签合同，但承租方继续缴纳了一个季度租金的情况下，这通常可视同为双方形成了不定期租赁关系。
分析说明：
不定期租赁关系的形成：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，租赁期限届满，承租人继续使用租赁物，出租人没有提出异议的，原租赁合同继续有效，但是租赁期限为不定期。
- 在您描述的情况下，出租方和承租方未续签书面合同，但承租方继续缴纳租金，且出租方未提出异议，这符合不定期租赁关系的形成条件。
不定期租赁关系的法律后果：
- 不定期租赁关系意味着双方没有固定的租赁期限，任何一方都有权在合理期限内通知对方解除租赁关系。
- 对于承租方而言，虽然可以继续使用租赁物，但也面临着出租方随时可能要求解除合同的风险。
- 对于出租方而言，虽然有权随时解除合同，但也需要给予承租方合理的搬迁时间。
实际操作建议：
- 对于承租方：建议尽快与出租方协商，签订新的书面租赁合同，明确租赁期限、租金等条款，以保障自己的合法权益。
- 对于出租方：如果希望继续出租给承租方，也建议签订新的书面合同，以避免未来可能出现的纠纷。如果希望收回租赁物，则应提前通知承租方，并给予合理的搬迁时间。
特殊场景提醒：
- 如果双方在原租赁合同中有特别约定，如“租赁期限届满后自动续期”等条款，则应按照合同约定执行。
- 如果出租方在租赁期限届满后明确表示不再续租，而承租方仍继续使用租赁物并缴纳租金，这种情况下可能构成侵权或违约，出租方有权要求承租方立即搬离并承担相应责任。
后续行动建议：
- 双方应尽快就租赁事宜进行协商，明确各自的权利和义务。
- 如果协商不成，可以考虑通过法律途径解决纠纷，如向法院提起诉讼或申请仲裁。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。