在肇事车愿意私了而公司车不愿意私了的情况下，应首先明确私了并非解决交通事故的唯一途径，且公司车作为一方当事人，有权选择通过法律途径来维护自身权益。以下是具体的处理步骤和建议：
固定证据与报警：
- 现场拍照：对事故现场进行全面拍照，包括车辆碰撞部位、道路标识、刹车痕迹等，确保照片能清晰反映事故情况。
- 记录信息：详细记录肇事车辆及司机的相关信息，如车牌号、车型、颜色、司机姓名、联系方式等。
- 立即报警：拨打122报警电话，向交警部门报告事故，等待交警到场勘查。根据《中华人民共和国道路交通安全法》第七十三条，公安机关交通管理部门将制作交通事故认定书作为处理事故的证据。
配合交警处理与责任认定：
- 保护现场：在等待交警到来期间，应保护现场不被破坏，以免影响事故责任认定。
- 如实陈述：向交警如实陈述事故发生经过，提供现场照片和记录的信息等证据。
- 责任认定：交警部门将根据现场勘查、调查取证等情况，依据相关法律法规出具交通事故责任认定书，明确事故双方的责任比例。
尝试调解（若公司愿意）：
- 申请人民调解：若公司愿意，可向人民调解委员会申请调解，尝试通过协商达成赔偿协议。
- 请求交警调解：根据《中华人民共和国道路交通安全法》第七十四条，当事人也可请求公安机关交通管理部门进行调解，以公正、公平地解决赔偿争议。但需注意，若公司明确表示不愿意私了或调解，则此步骤可省略，直接进入法律程序。
提起民事诉讼（若调解不成或公司不愿意调解）：
- 准备证据：收集好相关证据，包括交通事故认定书、医疗记录（若有人员受伤）、费用票据、车辆维修发票等。
- 提起诉讼：向有管辖权的人民法院提交起诉状和证据材料，提起民事诉讼。法院将依法受理案件并进行审理，最终作出判决。
- 强制执行：若对方不履行法院判决，可向法院申请强制执行，以确保赔偿款项得到落实。
在处理过程中，还需注意以下几点：
- 遵守法律法规：确保所有行动都符合法律法规的要求，以维护自身合法权益。
- 及时救助伤者：如果事故造成人员受伤，应及时救助伤者并确保其得到及时治疗。
- 应对逃逸行为：若肇事车辆存在逃逸行为，应立即报警并提供相关信息，同时保护现场、救助伤者。
针对公司车不愿意私了的情况，可能的原因及建议：
- 公司政策或保险要求：公司可能出于政策考虑或保险理赔的要求，选择通过法律途径解决事故，以确保赔偿的合理性和合法性。此时，应尊重公司的决定，并配合公司完成相关法律程序。
- 对私了结果的不满意：公司可能对肇事方提出的私了条件不满意，认为赔偿金额过低或责任划分不明确。此时，应通过法律途径来明确责任比例和赔偿金额，以维护公司的合法权益。
总之，在处理交通事故时，应首先确保人员安全，然后依法固定证据、报警并配合交警处理。若公司车不愿意私了，则应通过调解或民事诉讼等法律途径来维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。