判决书下来后，双方是否都可以上诉，主要取决于判决是一审还是二审，以及是否在上诉期限内。以下是对此问题的详细分析：
一、一审判决的上诉规定
上诉期限：
- 民事案件：根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人不服地方人民法院第一审判决的，有权在判决书送达之日起十五日内向上一级人民法院提起上诉。
- 刑事案件：对于刑事判决，不服判决的上诉期限为十日，从接到判决书的第二日起算。
上诉权利：
- 在上诉期限内，若当事人认为判决书存在错误、适用法律不当或审判程序违法等情况，均有权提起上诉。这意味着，在一审判决下，双方当事人（原告和被告）在上诉期限内都享有上诉权。
上诉流程：
- 上诉需向原审法院或上一级法院提交上诉状，上诉状应详细写明上诉人和被上诉人的基本信息、上诉的请求和理由、原审法院名称、案件的编号和案由等内容。
二、二审判决的终局性
- 对于民事、行政案件的二审判决，其为终审判决，意味着该判决具有最终法律效力，通常情况下不能再上诉。因此，在二审判决下，双方当事人通常不再享有上诉权。
- 当事人如果认为二审判决有误，可以通过审判监督程序（如申请再审）等其他法律途径寻求救济。但申请再审的条件较为严格，通常要求发现新证据或原判决存在重大错误。
三、特殊情况与注意事项
特殊情况：
- 若超过上诉期限，但当事人能证明存在不可抗力等不可预见、不可避免的事由导致其未能在规定期限内上诉，或者发现了新的且足以影响案件判决结果的证据，法院在特定情况下也可能受理上诉。但这种情况较为罕见，且需要严格的证明条件。
注意事项：
- 当收到判决书后，当事人应首先确认该判决是一审还是二审，并仔细查看上诉期限。
- 如需在上诉期限内提起上诉，应尽快准备上诉状并提交给相关法院，以免错过上诉时机。
- 若超过上诉期限或有其他疑问，建议及时向我咨询，以了解可行的法律救济途径。
总结与建议：
- 在一审判决下，双方当事人在上诉期限内都享有上诉权，可以根据自身情况决定是否上诉。
- 在二审判决下，双方当事人通常不再享有上诉权，但可以通过其他法律途径寻求救济。
- 无论是一审还是二审判决，当事人都应仔细查看判决内容、确认判决类型及上诉期限，并在必要时及时寻求法律帮助。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。