结论前置：出现新证据申请再审确实存在期限规定，这一期限因案件类型（民事、行政）及所在法域的具体规定而异，但通常都是自知道或者应当知道新证据之日起六个月内提出。

详细分析：

1. 民事案件中的期限规定：

   • 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人申请再审，原则上应当在判决、裁定发生法律效力后六个月内提出。然而，若存在新证据，且该证据足以推翻原判决、裁定的，则自知道或者应当知道该新证据之日起六个月内亦可提出再审申请。
   • 举例说明：假设一个合同纠纷案件，法院于2023年1月1日作出了生效判决。当事人在2023年8月1日偶然发现了一份之前未掌握的合同附件，该附件足以推翻原判决。在此情况下，当事人应当在2024年2月1日之前（从2023年8月1日起算六个月）向法院申请再审。

2. 行政案件中的期限规定：

   • 行政案件中再审申请的期限规定与民事案件类似。根据《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国行政诉讼法〉的解释》，当事人向上一级人民法院申请再审，应当在判决、裁定或者调解书发生法律效力后六个月内提出。若在此期间发现新的证据，且该证据足以推翻原判决、裁定的，则自知道或者应当知道之日起六个月内亦可提出申请。

3. 逾期提供证据的处理：

   • 如果当事人超过了再审申请的期限，但确实存在因客观原因无法在规定的期限内提交证据的情形，并且这些证据对于案件的审理具有决定性影响，法院在审查时可能会酌情考虑。然而，这并不意味着可以完全无视再审申请的时间限制。当事人应尽可能在法定的期限内提出申请，并充分说明逾期提供证据的原因。

4. 特殊情形下的考虑：

   • 除了新证据外，民事诉讼法还规定了其他可以申请再审的事由，如原判决、裁定认定事实的主要证据是伪造的，据以作出原判决、裁定的法律文书被撤销或变更，以及审判人员审理案件时有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判等行为。对于这些情形，当事人同样可以在自知道或者应当知道之日起六个月内申请再审。

法律建议：

• 当事人在发现新证据并希望以此为由申请再审时，应首先确认自己所在的法律环境及案件类型，以了解具体的期限规定。
• 及时咨询专业律师（即我本人，苏明煜律师，专注于刑事辩护、行政纠纷、走私犯罪领域）以获取准确的信息和指导，确保再审申请的合法性和有效性。
• 尽可能在法定的期限内提出再审申请，并充分说明逾期提供证据的原因（如果适用），以维护自己的合法权益。

可能法律后果：

• 如果当事人错过了法定的再审申请期限，且没有充分的理由说明逾期的原因，法院可能会裁定驳回再审申请。
• 在某些情况下，即使超过了再审期限，当事人仍可以通过向人民检察院申请检察建议或抗诉来寻求救济。然而，这并非常规途径，且成功概率可能较低。

综上所述，出现新证据申请再审确实存在期限规定，且这一规定因案件类型及所在法域的具体规定而异。当事人在面临此类情况时，应充分了解并严格遵守相关法律规定的时间限制，并及时咨询专业律师以获取帮助。