工作日午休期间外出健身死亡，一般情况下不算工伤，但特殊情况下可能被认定为工伤。以下是对此问题的详细分析：

一般情况：非工作时间与非工作岗位

1. 非工作时间：午休时间通常被视为员工的个人休息时间，不属于正常的工作时间。除非有特别约定或公司规章制度明确规定午休时间计入工作时间，否则一般不被视为工作时间。

2. 非工作岗位：外出健身是员工在午休期间自主选择的活动，与工作岗位无直接关联。工作岗位通常指的是员工履行工作职责的场所或岗位，而外出健身显然不属于这一范畴。

3. 非工作原因：工伤的认定通常要求伤害或死亡与工作有直接因果关系。午休期间外出健身死亡，一般与工作无直接联系，因此不符合工伤认定的基本条件。

特殊情况：可能被认定为工伤的情形

1. 与工作紧密关联：

   • 如果员工外出健身是出于工作需要，例如因工作性质特殊需要保持身体状态，且公司有明确规定或鼓励员工在午休期间进行此类活动，那么在此期间发生意外可能被视为与工作有关。但这种情况较为罕见，且需要具体证据支持。

2. 视同工伤情形：

   • 根据《工伤保险条例》第十五条的规定，职工在工作时间和工作岗位，突发疾病死亡或者在48小时之内经抢救无效死亡的，视同工伤。但这一条款并不直接适用于午休期间外出健身死亡的情况，因为午休时间通常不被视为工作时间，且外出健身也不属于工作岗位。然而，如果员工在健身过程中突发疾病，且该疾病与工作劳累、紧张等因素有关，且在48小时内经抢救无效死亡，理论上存在被认定为工伤的可能性，但这种情况需要严格的证据支持，且实践中认定难度较大。

3. 公司责任与特殊情况：

   • 如果公司对员工午休期间的活动有明确规定或要求，且员工因遵守这些规定或要求而发生意外，公司可能需要承担一定的责任。但这并不等同于工伤认定，而是可能涉及公司责任或民事赔偿问题。

法律建议与后续行动

1. 收集证据：如果员工家属认为死亡可能与工作有关，应尽快收集相关证据，如公司规章制度、员工与公司的沟通记录、医疗救治记录等，以支持其主张。

2. 申请工伤认定：在收集到足够证据后，员工家属可以向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请。社会保险行政部门将根据具体情况和相关证据进行认定。

3. 法律途径：如果对工伤认定结果有异议，员工家属可以通过行政复议或行政诉讼等法律途径来维护自身权益。

总结来说，工作日午休期间外出健身死亡，在一般情况下不符合工伤认定的条件。但在特殊情况下，如与工作紧密关联或存在视同工伤的情形，且能够提供充分证据支持时，有可能被认定为工伤。因此，在处理此类问题时，应严格依据法律法规，并结合实际情况进行具体分析。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。