亲生母亲在特定情况下是可以将监护权转给亲属的，但这一过程并非随意进行，而是需要遵循一定的法律程序和条件。

首先，我们要明确的是，父母是未成年子女的法定监护人，对抚养、教育和保护未成年人负有第一责任。这是基于《中华人民共和国民法典》和《中华人民共和国未成年人保护法》的相关规定。因此，在一般情况下，父母不能随意放弃对未成年子女的监护权。

然而，也存在一些特殊情况。比如，当亲生母亲因有特殊困难无力抚养子女时，她可以作为送养人进行送养。在这种情况下，如果符合规定的三代以内旁系同辈血亲子女收养、继子女收养等条件，生父母（包括亲生母亲）都可以作为送养人进行送养。一旦收养法律关系成立，未成年子女的监护权就会依法转移和变更至收养人。从这个角度来看，亲生母亲在送养子女后，可以视为放弃了对该未成年子女的监护权，监护权转给了收养人（通常是亲属或其他符合条件的收养者）。

另外，如果亲生母亲因无法履行、不履行监护职责，或者侵害被监护人的合法权益，而现有监护人（在这里即亲生母亲）需要被变更时，也可以由其他与孩子生活非常亲密的亲属或组织提起变更孩子监护人的诉讼请求。法院会根据具体情形，从有利于孩子身心成长的原则出发，做出变更孩子监护人的判决。在这种情况下，监护权也有可能转给其他亲属。

但需要注意的是，无论是送养还是变更监护人，都需要严格遵循法律程序和条件。送养需要符合《中华人民共和国民法典》中关于收养的相关规定，而变更监护人则需要通过法院的判决或调解来实现。

概括起来，亲生母亲在特定情况下（如有特殊困难无力抚养子女或无法履行监护职责等）是可以将监护权转给亲属的，但这一过程需要遵循法律程序和条件，确保未成年子女的权益得到充分保障。如果您有具体的法律需求或疑问，建议咨询专业的法律人士或机构以获取更准确的法律意见和帮助。