针对您提出的问题，即邻居家建房时墙上的板掉下来砸到您的车，该由哪个部门管理，这主要涉及到侵权责任和可能的行政处理两个方面，以下为您详细分析：

1. 侵权责任角度：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。在此情况下，邻居作为建房者，对其建房过程中的安全负有责任。如果因邻居的过错（如施工不当、未采取必要的安全措施等）导致墙上的板掉下来砸到您的车，邻居应当承担侵权责任，赔偿您的损失。
   • 处理方式：您首先可以尝试与邻居协商解决，要求其赔偿您的车辆损失。如果协商不成，您可以向人民法院提起民事诉讼，要求邻居承担侵权责任并赔偿损失。

2. 行政处理角度：

   • 如果邻居的建房行为违反了相关的建筑安全规定或城市管理规定，您也可以向相关的行政部门投诉或举报。例如，如果邻居的建房行为未经批准或违反了建筑安全标准，您可以向当地的城市管理部门或建设行政主管部门投诉。
   • 相关部门：具体来说，您可以联系当地的城市管理局（或类似名称的部门，负责城市管理和综合执法）或住房和城乡建设局（负责建筑安全和建设管理）。这些部门有权对违反建筑安全规定的行为进行调查和处理，并可能要求邻居采取补救措施或承担行政责任。

建议行动步骤：

• 第一步：收集证据，包括现场照片、视频、车辆损坏情况等，以证明邻居的建房行为与您的车辆损失之间的因果关系。
• 第二步：尝试与邻居协商解决，要求其赔偿损失。如果协商不成，进入下一步。
• 第三步：根据具体情况，选择向人民法院提起民事诉讼或向相关行政部门投诉举报。

额外提醒：

• 在处理此类纠纷时，保持冷静和理性至关重要。避免与邻居发生不必要的冲突，通过合法途径解决问题。
• 如果您对法律程序不熟悉或担心自己的权益得不到充分保障，可以考虑咨询专业律师（即我本人，左伟律师，专注于经济纠纷、刑事辩护、离婚、交通事故、法律顾问、侵权纠纷领域）以获取更具体的法律建议和帮助。

希望以上分析能对您有所帮助。如果您有任何进一步的问题或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。