在交通肇事逃逸案件中，如果双方达成了和解，处理过程确实需要严谨且符合法律法规。以下是我为您详细梳理的处理流程和相关注意事项：
一、民事赔偿处理
签订书面和解协议：
- 双方应签订一份详细且明确的书面和解协议。这份协议需要涵盖赔偿的具体项目，比如医疗费、误工费、护理费、残疾赔偿金以及财产损失等，同时明确赔偿的金额、支付方式和支付时间。
- 协议中还应明确指出，此次和解是针对本次交通肇事逃逸事故的所有民事赔偿纠纷的一次性解决，双方之后不得再就此事主张任何权利。
- 协议最后需要双方签字确认，以确保其法律效力。
履行赔偿义务：
- 肇事方必须按照协议中约定的时间和方式支付赔偿款项。
- 为了确保支付的可追溯性，建议通过银行转账等电子支付方式进行，并妥善保留好转账记录和支付凭证，作为后续可能的证据。
二、行政责任承担
向交警部门报备：
- 双方达成和解后，应共同前往当地交警部门，将和解情况如实告知。
- 交警部门会对事故进行进一步的调查，以确定事故责任，这是后续处理的重要依据。
接受行政处罚：
- 根据逃逸情节的轻重，交警部门可能会对肇事逃逸者处以罚款、行政拘留等行政处罚。
- 虽然双方已经和解，但和解情况可以作为从轻处罚的一个情节予以考虑。
- 需要注意的是，吊销驾驶证是常见的行政处罚之一，情节严重者甚至可能终生不得重新取得机动车驾驶证。
三、刑事责任承担（如构成犯罪）
和解对量刑的影响：
- 如果交通肇事逃逸行为已经构成犯罪，那么即使双方达成和解，肇事方仍然需要承担刑事责任。
- 但是，和解并积极赔偿受害方损失、取得受害方谅解的行为，法院在量刑时会将其作为从轻处罚的一个重要情节予以考虑。
刑事诉讼程序的推进：
- 案件会继续按照刑事诉讼程序进行，由公安机关进行侦查终结后移送检察院审查起诉，再由检察院向法院提起公诉。
- 法院会根据案件的事实、证据以及肇事方的认罪态度、和解谅解情况等，依法作出判决。
四、后续处理与注意事项
保留证据：
- 双方在整个处理过程中应妥善保留好和解协议、支付凭证、公安机关处理记录等相关证据。
- 这些证据对于后续可能出现的纠纷或需要证明和解事实的情况至关重要。
配合调查：
- 肇事者应积极配合公安机关的调查和处理工作，如实陈述事故经过和和解情况。
法律途径：
- 如果肇事方未能按时履行和解协议，受害方可以通过法律途径要求其继续履行或承担违约责任。
综上所述，交通肇事逃逸后双方和解虽然能在一定程度上解决民事纠纷，并对行政、刑事责任的承担产生积极影响，但并不能完全免除肇事方的法律责任。双方应依法依规妥善处理后续事宜，确保案件的合法性和公正性。希望这些信息能对您有所帮助。