结论：针对您健身房刚办的5年会员卡，仅使用三个月后健身房就关门跑路的情况，您有权要求赔偿，且商场作为租赁方，在一定条件下可能需要承担责任。以下是从不同角度的详细分析：
一、健身房的责任
合同违约：
- 您与健身房之间形成了服务合同关系，您支付了会员费，健身房应提供相应的服务。
- 健身房关门跑路，无法继续提供服务，构成合同违约。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第五百七十七条，当事人一方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定的，应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。
赔偿请求：
- 您有权要求健身房退还剩余会员费，并可能要求赔偿因违约造成的其他损失（如交通费、时间损失等，具体需根据实际情况和证据确定）。
- 实际操作：建议先尝试与健身房协商退款，若协商无果，可向消费者协会投诉或向法院提起诉讼。
二、商场的责任
租赁关系与监管义务：
- 商场作为健身房的租赁方，对健身房的经营活动有一定的监管义务，尤其是当健身房的经营行为可能影响到商场的整体声誉和消费者权益时。
- 如果商场明知或应知健身房存在违约或欺诈行为，而未采取必要措施，可能需要承担一定的责任。
商场可能承担责任的情形：
- 商场有过错：如商场在租赁过程中未尽到合理的审查义务，导致健身房得以在商场内经营并最终跑路，商场可能需要承担一定的过错责任。
- 商场提供担保或承诺：如果商场在租赁合同中或通过其他方式向消费者提供了担保或承诺，如“保证健身房正常经营”等，那么当健身房跑路时，商场可能需要按照承诺承担责任。
- 商场作为共同被告：在诉讼中，如果消费者将商场和健身房作为共同被告，且法院认为商场存在过错或应承担责任，那么商场可能需要与健身房共同承担赔偿责任。
法律依据与实际操作：
- 法律依据：虽然直接的法律依据可能并不明确指向商场必须承担责任，但根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任和合同责任的相关规定，以及商场与健身房之间的租赁关系，可以综合判断商场是否应承担责任。
- 实际操作：建议先收集相关证据（如租赁合同、商场的宣传资料、与商场的沟通记录等），然后尝试与商场协商解决。若协商无果，可考虑向法院提起诉讼，要求商场承担相应的责任。
三、建议与总结
收集证据：
- 保留好会员卡、付款凭证、与健身房和商场的沟通记录等证据。
- 如果可能，收集其他受害者的信息，以便共同维权。
协商与投诉：
- 先尝试与健身房和商场协商退款和赔偿事宜。
- 若协商无果，可向消费者协会投诉或向相关监管部门举报。
法律途径：
- 如果上述途径均无法解决问题，可考虑向法院提起诉讼，要求健身房和商场承担相应的法律责任。
总结：面对健身房关门跑路的情况，您有权要求赔偿。商场作为租赁方，在一定条件下可能需要承担责任。建议您先收集证据，尝试协商与投诉，若无法解决问题，再考虑通过法律途径维护自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。