结论：对于孩子玩耍时碰掉一半牙的情况，选择去法院索赔还是私下处理，需根据具体情况综合考虑。以下是从不同角度的分析和建议：
一、私下处理
协商解决：
- 优势：私下处理通常更为迅速，可以避免漫长的法律程序和可能的诉讼费用。如果双方能够就赔偿金额和方式达成一致，可以较快地解决问题，减少对孩子和家庭的影响。
- 考虑因素：在协商过程中，应确保赔偿金额合理，能够覆盖孩子的医疗费用、后续治疗费用以及可能的心理补偿等。同时，应签订书面协议，明确双方的权利和义务，以避免未来可能出现的纠纷。
调解：
- 优势：如果双方难以自行协商达成一致，可以寻求第三方调解机构的帮助。调解机构可以提供中立的意见，协助双方达成和解。
- 考虑因素：选择调解时，应确保调解机构的公正性和专业性。调解结果通常不具有法律强制力，但如果双方同意并签署调解协议，该协议在法律上具有一定的约束力。
二、去法院索赔
法律程序：
- 优势：如果私下处理无法达成一致，或者对方拒绝承担责任，去法院索赔是一种有效的法律手段。法院可以依法判决对方承担赔偿责任，确保孩子的合法权益得到保护。
- 流程：首先，需要收集相关证据，如医疗记录、照片、证人证言等，以证明孩子的伤害是由对方的过错造成的。然后，向法院提起诉讼，并按照法院的指示参与诉讼过程。最后，等待法院的判决，并执行判决结果。
- 考虑因素：法律程序可能较为漫长，且需要支付一定的诉讼费用。因此，在决定去法院索赔前，应充分评估诉讼的成本和收益。
赔偿范围：
- 医疗费用：包括孩子因伤害产生的所有医疗费用，如治疗费、药品费、检查费等。
- 后续治疗费用：如果孩子的伤害需要长期治疗或康复，应考虑后续治疗费用的赔偿。
- 心理补偿：孩子因伤害可能遭受心理创伤，可以考虑要求对方支付一定的心理补偿费用。
- 其他费用：如因伤害导致的误工费、交通费等，也可以根据实际情况要求赔偿。
三、综合建议
- 评估伤害程度：首先，应评估孩子的伤害程度，包括是否需要长期治疗、是否会影响孩子的日常生活等。如果伤害较轻，且双方能够友好协商，私下处理可能更为合适。
- 考虑对方态度：如果对方态度诚恳，愿意承担责任并赔偿损失，私下处理可能更为高效。但如果对方拒绝承担责任或态度恶劣，去法院索赔可能是更好的选择。
- 咨询专业意见：在处理此类纠纷时，可以咨询专业律师的意见。律师可以根据具体情况提供法律建议，帮助你更好地维护孩子的合法权益。
最后，无论选择私下处理还是去法院索赔，都应确保孩子的合法权益得到充分保护。如果在此过程中有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。