结论：教培机构员工在辞职申请一个月后不让走人，一般情况下不需要赔违约金，但存在特定情形时可能需要承担相应责任。以下从不同角度进行分析：
一、一般情况：无需赔违约金
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者提前三十日以书面形式通知用人单位，可以解除劳动合同。这意味着，在正常情况下，员工在提交辞职申请并等待三十日后，即有权离开工作岗位，无需支付任何违约金。教培机构作为用人单位，应当尊重员工的辞职权利，不得无故阻拦或要求员工支付违约金。
二、特定情形：可能需要承担责任
服务期约定：
- 如果员工与教培机构签订了服务期协议，并且教培机构为员工提供了专项培训费用，进行了专业技术培训，那么员工在服务期内辞职可能需要支付违约金。但违约金的数额不得超过用人单位提供的培训费用，且不得超过服务期尚未履行部分所应分摊的培训费用。
- 计算公式（若需计算违约金）：违约金 = 培训费用 × (未履行服务期 / 总服务期)
竞业限制约定：
- 如果员工与教培机构签订了竞业限制协议，并且在辞职后违反了竞业限制义务，那么员工可能需要支付违约金。竞业限制协议通常用于保护用人单位的商业秘密和竞争优势，员工在离职后一定期限内不得在与原用人单位有竞争关系的单位工作或从事与原用人单位有竞争关系的业务。
- 竞业限制违约金的数额通常由双方在协议中约定，但应遵循公平、合理的原则，不得过高或过低。
违反保密义务：
- 如果员工在辞职过程中或离职后违反了保密义务，泄露了教培机构的商业秘密或其他重要信息，那么员工可能需要承担法律责任，包括支付违约金（如果协议中有约定）或赔偿损失。
三、建议与注意事项
审查劳动合同和协议：
- 在辞职前，员工应仔细审查与教培机构签订的劳动合同和任何附加协议，特别是关于服务期、竞业限制和保密义务的条款。
与用人单位协商：
- 如果员工希望提前离职或遇到用人单位阻拦的情况，可以尝试与用人单位进行协商，寻求双方都能接受的解决方案。
寻求法律援助：
- 如果员工与教培机构在辞职问题上存在争议，且无法通过协商解决，可以寻求法律援助或咨询专业律师，以维护自己的合法权益。
最后，教培机构员工在辞职申请一个月后不让走人时，一般情况下无需赔违约金。但存在服务期约定、竞业限制约定或违反保密义务等特定情形时，可能需要承担相应责任。如果你在此方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。