结论：房子写孩子名，首付和贷款都是父母出，并且和孩子私下有协议，该协议在法律上是否生效，需分情况讨论。一般来说，若协议内容合法且符合相关法律规定，是具有法律效力的；但若存在特定情形，如损害第三方利益等，则可能无效。

详细分析：

1. 协议内容合法性：

   • 父母与孩子之间的私下协议，若其内容不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗，且是双方真实意思的表示，那么该协议在法律上是具有效力的。例如，协议中明确约定了房屋的实际出资人、房屋的使用权、收益权以及未来可能的处置方式等，且这些约定均合法合规，那么这样的协议是受到法律保护的。

2. 房屋产权归属：

   • 尽管父母支付了首付和贷款，但房屋登记在孩子名下，根据《民法典》的相关规定，不动产物权的设立、变更、转让和消灭，经依法登记，发生效力。因此，从法律层面讲，房屋的所有权归属于孩子。父母与孩子之间的协议，不能改变房屋的产权归属，但可以就房屋的使用、收益等事项进行约定。

3. 协议可能无效的情形：

   • 如果协议中存在损害第三方利益的内容，如逃避债务、规避税收等，那么这样的协议可能是无效的。此外，如果协议是在一方受胁迫、欺诈等情况下签订的，也可能导致协议无效。

4. 实际执行中的注意事项：

   • 父母与孩子之间的私下协议，虽然在一定程度上可以明确双方的权利义务，但在实际执行中可能会遇到一些困难。例如，如果孩子未来不履行协议中的义务，父母可能需要通过法律途径来维护自己的权益。因此，在签订协议时，建议父母和孩子都充分考虑各种可能的情况，并尽量将协议内容写得详细、明确。

法律建议：

• 在签订私下协议前，建议父母和孩子都咨询专业的法律人士，确保协议内容合法合规，且能够充分保护双方的权益。
• 协议签订后，建议妥善保管，并可以考虑进行公证，以增强协议的法律效力。
• 如果在实际执行过程中遇到任何问题或纠纷，建议及时寻求法律帮助，通过合法途径来维护自己的权益。

可能法律后果：

• 如果协议合法有效，且双方均按照协议履行义务，那么一般不会产生法律纠纷。
• 如果协议存在无效情形，或者一方不履行协议义务，那么另一方有权通过法律途径来维护自己的权益，如要求确认协议无效、要求对方履行义务或赔偿损失等。