结论前置：公司开除员工（即单方解除劳动合同）必须严格遵守《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，确保有合法的理由并遵循法定程序。根据具体情况，解除行为可能无需支付经济补偿（过错性解除）或需支付经济补偿（非过错性解除）。以下是对公司开除员工条件的详细分析：
一、过错性解除（无需支付经济补偿）
根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，以下情形公司可以解除劳动合同且无需支付经济补偿：
试用期间不符合录用条件：
- 公司需在招聘时明确录用条件，并在试用期内对劳动者进行客观公正的考核。若劳动者确实不符合录用条件，公司可解除合同。
- 实例：如某公司招聘软件开发工程师，明确要求熟练掌握特定技术，但试用期内发现应聘者无法胜任，经评估后可解除合同。
严重违反规章制度：
- 公司的规章制度需合法、民主制定并已公示。劳动者严重违反这些规定时，公司可解除合同。
- 实例：如公司明文禁止工作场所吸烟，某员工多次违规，公司可据此解除合同。
严重失职或营私舞弊造成重大损害：
- 劳动者因严重失职或营私舞弊给公司造成重大损失时，公司可解除合同。
- 实例：如财务人员疏忽导致资金被骗，给公司造成重大经济损失，公司可解除合同。
与其他用人单位建立劳动关系影响本职工作：
- 若劳动者同时与其他单位建立劳动关系，严重影响本职工作或拒不改正的，公司可解除合同。
- 实例：如某员工兼职影响本职工作，经提醒后仍不改正，公司可解除合同。
劳动合同无效：
- 因欺诈、胁迫或乘人之危订立的劳动合同无效，公司可解除合同。
- 实例：如劳动者提供虚假学历证书，公司可据此解除合同。
被依法追究刑事责任：
- 劳动者被人民法院判处刑罚时，公司可解除合同。
- 实例：如某员工因犯罪被判刑，公司可解除合同。
二、非过错性解除（需支付经济补偿）
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条，以下情形公司提前三十日以书面形式通知劳动者或额外支付一个月工资后，可解除劳动合同：
患病或非因工负伤医疗期满不能工作：
- 劳动者患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作或另行安排的工作时，公司可解除合同。
- 实例：如某员工因病治疗后仍无法胜任工作，公司调整岗位后仍无法胜任，可解除合同。
不能胜任工作：
- 劳动者不能胜任工作，经过培训或调整岗位后仍不能胜任时，公司可解除合同。
- 实例：如销售人员连续未完成销售任务，经培训后仍无法改善，公司可解除合同。
劳动合同订立时的客观情况发生重大变化：
- 劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使合同无法履行，且双方未能就变更内容达成协议时，公司可解除合同。
- 实例：如公司经营方向调整导致原岗位取消，与劳动者协商未果后，公司可解除合同。
三、经济性裁员（需支付经济补偿金）
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十一条，在特定情形下，如公司依照企业破产法规定进行重整、生产经营发生严重困难等，公司可以裁减人员，但需提前三十日向工会或者全体职工说明情况，听取工会或者职工的意见后，裁减人员方案经向劳动行政部门报告，且需优先留用与本单位订立较长期限的固定期限劳动合同的、与本单位订立无固定期限劳动合同的、家庭无其他就业人员且有需要扶养的老人或者未成年人的劳动者。
四、开除员工的程序与注意事项
- 程序：在开除员工前，公司应遵循一定程序，包括提前通知、面谈、给予申辩机会等。
- 经济补偿：开除员工时需支付相应的经济补偿金（除非员工存在严重过错）。
- 手续办理：办理相关手续，如结算工资、退还工作物品等。
- 合规性：具体的开除条件和程序可能因地区、行业及公司政策而异，公司应确保合规性，避免法律风险。
五、公司不得解除劳动合同的情形
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条，公司在以下情形下不得依照本法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同：
- 从事接触职业病危害作业的劳动者未进行离岗前职业健康检查，或者疑似职业病病人在诊断或者医学观察期间的；
- 在本单位患职业病或者因工负伤并被确认丧失或者部分丧失劳动能力的；
- 患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的；
- 女职工在孕期、产期、哺乳期的；
- 在本单位连续工作满十五年，且距法定退休年龄不足五年的；
- 法律、行政法规规定的其他情形。
总结与建议：公司在开除员工时，必须严格遵守法律法规，确保有合法的理由并遵循法定程序。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将根据你的具体情况提供详细的法律建议。