在探讨什么样的情况下重新恢复执行不受时效期限限制时，我们主要关注的是民事执行领域的相关规定，而非刑事追诉时效。根据《最高人民法院印发〈关于严格规范终结本次执行程序的规定(试行)〉的通知》中的明确规定，我们可以得出以下详细解答：
一、核心规定
在终结本次执行程序后，若申请执行人发现被执行人有可供执行的财产，可以向执行法院申请恢复执行。重要的是，这种申请恢复执行的行为是不受申请执行时效期间限制的。这意味着，无论距离首次执行结束过去了多久，只要申请执行人发现了被执行人的可供执行财产，都有权向法院申请恢复执行。
二、具体案例与解释
案例一：如和平法院的案例中，申请人孙某某在2015年首次申请强制执行后，因未能找到被执行人张某某的下落及财产而终结本次执行程序。然而，在2024年，孙某某发现了张某某的行踪线索，并立即向和平法院申请恢复执行。法院在核查属实后，立即恢复了执行，并成功将案件执行完毕。这个案例充分说明了，即使距离首次执行结束过去了很长时间，只要满足条件，申请恢复执行仍然不受时效限制。
案例二：另一个案例中，刘某某在1995年申请强制执行后，也因客观条件限制未能执行到财产。但在2024年，刘某某仍然有权向和平法院申请恢复执行，并最终成功执行完毕。这个案例同样证明了申请恢复执行不受时效限制的原则。
三、申请恢复执行时的注意事项
提供线索：申请执行人在申请恢复执行时，应当将掌握的关于被执行人的相关线索全部提交给法院。这有助于法官对本案的恢复执行相关工作作出全面准确的判断，提高执行工作效率。
被执行人义务：被执行人应当自觉履行生效法律文书所确定的义务。如果首次执行未完毕，被执行人将永远受到限制高消费、被执行人信息全网公开等负面影响，并且未履行生效法律文书还会持续产生迟延履行金。此外，申请人还有权申请对被执行人恢复执行，并对其采取司法强制措施。
四、总结与建议
综上所述，在终结本次执行程序后，只要申请执行人发现被执行人有可供执行的财产，就可以不受时效限制地向法院申请恢复执行。这一规定为申请执行人提供了有力的法律保障，确保了其合法权益能够得到有效维护。因此，如果您作为申请执行人发现了被执行人的可供执行财产，请及时向法院申请恢复执行，以维护自己的合法权益。