核心结论：若房东不愿补签租房合同，租客要退税需分情况处理，关键在于证明租赁关系及租金支付情况，可通过收集其他证据辅助退税申请。以下是具体分析：

1. 明确退税与租房合同的关系

   • 在个人所得税专项附加扣除中，住房租金支出扣除需要提供租赁合同等证明材料。这是为了证明租赁关系的存在以及租金的实际支付情况。如果房东不愿补签租房合同，从常规流程上看，会缺少这一关键证明文件，但并非完全无法退税。

2. 收集其他能证明租赁关系及租金支付的证据

   • 租金支付凭证：如银行转账记录、微信或支付宝转账记录等，这些记录应清晰显示收款方为房东，且备注有“房租”等字样。如果是现金支付，可尝试寻找证人，如共同居住的室友、邻居等，让他们出具证人证言，证明你按时支付了房租。
   • 房屋使用证明：例如水电费缴费单据，上面显示的缴费地址与租赁房屋地址一致，且缴费人为租客，这可以间接证明你实际居住在该房屋并承担了相关费用。另外，物业费缴费凭证也有类似作用。
   • 沟通记录：与房东关于租赁事宜的聊天记录、短信记录等，其中可能包含租赁期限、租金金额等关键信息，能辅助证明租赁关系的存在。

3. 向税务机关说明情况并提交证据

   • 准备好上述收集到的证据后，前往当地税务机关办理退税手续。向税务工作人员详细说明房东不愿补签合同的情况，并提交你收集到的各类证据。税务机关会根据实际情况进行审核，如果证据充分，能够证明你的租赁关系及租金支付情况，仍有可能批准你的退税申请。

4. 与房东协商沟通

   • 虽然房东目前不愿补签合同，但你可以尝试再次与房东友好协商。向房东解释退税对你个人经济的重要性，以及补签合同对他也不会造成实质性的损失。例如，说明这只是一个形式上的文件，用于你办理退税，不会给他带来额外的法律责任或经济负担。如果房东还是有所顾虑，你可以提出在合同中明确一些保护他权益的条款，如房屋使用规范、维修责任等，以增加他补签合同的意愿。

5. 寻求第三方协助

   • 如果与房东协商无果，你可以考虑寻求第三方协助。比如，通过当地的社区居委会或房屋租赁管理部门进行调解。这些机构具有一定的权威性和公信力，可能会帮助你说服房东补签合同或协助你收集相关证据。