结论：父亲留下的遗嘱若符合法定形式和实质要件，即便母亲不同意，遗嘱依然有效，子女可按遗嘱继承财产；若遗嘱存在无效情形，母亲作为法定继承人之一，有权参与遗产分配。以下从不同角度详细分析：
一、遗嘱有效的核心要件
根据《民法典》第1134-1139条，遗嘱需满足以下条件才有效：
- 形式合法：自书遗嘱需亲笔书写、签名并注明年月日；代书遗嘱需两名无利害关系人见证并签字；录音录像遗嘱需记录遗嘱人和见证人肖像及姓名；公证遗嘱效力最高（但《民法典》已取消公证遗嘱优先规则，以最后一份合法遗嘱为准）。
- 实质合法：遗嘱人需具有完全民事行为能力；遗嘱内容为真实意思表示（非受胁迫、欺诈）；只能处分个人合法财产（如夫妻共同财产中属于父亲的部分）；需为缺乏劳动能力且无生活来源的继承人保留必要份额。
举例：若父亲立自书遗嘱将个人存款留给子女，母亲虽不同意，但遗嘱形式和内容均合法，子女可继承该存款。
二、母亲不同意的法律后果
母亲作为配偶，若未被遗嘱排除继承权，其反应分两种情况：
- 遗嘱有效时：母亲无权阻止子女按遗嘱继承财产，但若遗嘱未处分全部财产（如未提及夫妻共同房产中父亲的部分），母亲可就剩余部分按法定继承参与分配。
- 遗嘱无效时：若遗嘱因形式瑕疵（如代书遗嘱无见证人）或实质瑕疵（如处分了母亲财产份额）被认定无效，遗产按法定继承处理。此时母亲作为第一顺序继承人（配偶、子女、父母），与子女共同分配遗产。
举例：若父亲遗嘱将夫妻共同房产全部留给子女，但房产中50%属于母亲，则遗嘱中处分母亲份额的部分无效，母亲可就其50%份额与子女平分。
三、母亲反对的解决路径
若母亲对遗嘱有效性提出异议，可通过以下方式解决：
- 协商调解：家庭内部协商，明确遗产范围和分配方案，避免诉讼成本。
- 申请遗嘱效力认定：若协商无果，母亲或子女可向法院起诉，请求确认遗嘱效力。法院将审查遗嘱形式、遗嘱人行为能力、是否存在胁迫等情形。
- 参与法定继承分配：若遗嘱被认定无效，母亲可按《民法典》第1127条规定的法定继承顺序（第一顺序：配偶、子女、父母）参与分配。
四、特殊情形：夫妻共同财产的处分
若父亲遗嘱中涉及夫妻共同财产（如房产、存款），需注意：
- 处分个人份额有效：父亲仅能处分其个人所有的财产份额（如夫妻共同房产中50%的部分），处分母亲份额的部分无效。
- 母亲权益保护：母亲可主张遗嘱中无效部分对应的财产份额，按法定继承或另行协商分配。
建议：若您面临此类纠纷，建议先梳理遗产范围（区分个人财产与夫妻共同财产），再核对遗嘱形式和内容是否合法。如有疑问，可直接向我咨询，我将结合具体案情为您分析遗嘱效力及继承方案。