结论：被执行人死亡且没有遗产的情况下，执行局通常不会启动“父债子还”程序。以下是对此问题的详细分析：

1. “父债子还”的法律原则：

   • 在我国法律体系中，并不存在绝对的“父债子还”原则。子女没有义务承担父母的债务，除非子女继承了父母的遗产，并且根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，继承遗产应当清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务，缴纳税款和清偿债务以遗产的实际价值为限。

2. 被执行人死亡且无遗产的情况：

   • 如果被执行人死亡，且没有留下任何遗产，那么执行局就无法通过执行遗产来清偿债务。
   • 在这种情况下，由于子女没有继承到任何遗产，他们就没有义务承担被执行人的债务。因此，执行局不会启动“父债子还”程序。

3. 特殊情况下的考虑：

   • 尽管一般情况下子女不承担父母的债务，但如果子女与父母之间存在财产混同、恶意转移财产以逃避债务等特殊情况，债权人可能会通过法律途径追究子女的责任。然而，这需要债权人提供充分的证据来证明这些特殊情况的存在。
   • 另外，如果子女自愿承担父母的债务，那么他们就需要按照自己的承诺来履行还款义务。但这属于道德层面的自愿行为，并非法律强制要求。

4. 法律建议：

   • 对于债权人来说，如果被执行人死亡且没有遗产，他们可能需要考虑其他途径来追讨债务，如寻找其他共同债务人或担保人等。
   • 对于子女来说，如果他们没有继承到父母的遗产，就不需要担心被要求承担父母的债务。但如果他们继承了遗产，就需要在遗产范围内承担清偿债务的责任。

总结与进一步思考：

• 在处理类似问题时，关键在于明确被执行人的遗产状况以及子女是否继承了遗产。如果被执行人没有遗产或子女没有继承遗产，那么子女就不需要承担被执行人的债务。
• 如果你或他人遇到类似情况，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议。作为专注于婚姻家庭领域的律师，我可以为你提供相关的法律咨询和帮助。如果你有任何疑问或需要进一步的法律支持，请随时向我咨询。