核心结论：免费搭乘私家车受伤时，司机是否承担赔偿责任，主要取决于事故的具体原因、双方的过错程度以及相关法律法规的规定。以下是对此问题的详细分析：
司机存在过错的情况
- 法律基础：根据《民法典》第八百二十三条，即使乘客是免费乘车，双方也形成了类似客运合同的关系，司机有义务将乘客安全运输到目的地。同时，《民法典》第一千一百六十五条也规定了行为人因过错侵害他人民事权益需承担侵权责任。
- 责任判定：如果司机存在过错，如超速、酒驾、疲劳驾驶等违法行为，或者驾驶过程中操作不当导致乘客受伤，司机需承担侵权赔偿责任。这种责任是基于司机的过错行为对乘客造成的损害而产生的。
- 赔偿范围：通常包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费等实际发生的费用。由于免费乘车的无偿性，司机的赔偿责任可能会适当减轻，但具体减轻程度需根据法院裁量。
乘客存在过错的情况
- 责任判定：若乘客的受伤是由于其自身故意或重大过失造成的，如未遵守乘车安全规定、在车辆行驶中随意走动或打闹等，司机可以减轻或免除赔偿责任。这是因为乘客的自身行为对损害结果的发生起到了主要作用。
- 司法实践：在司法实践中，法院会根据具体情况进行裁量，考虑双方的过错程度。如果乘客的过错程度较高，法院可能会判决司机承担较少的赔偿责任，甚至免除赔偿责任。
不可抗力或意外事件的情况
- 责任判定：如地震、洪水等自然灾害或突然出现的山体滑坡、道路塌陷等意外事件导致乘客受伤，且司机已尽合理注意义务，如及时刹车、避让等，则司机一般不承担赔偿责任。这是因为这些事件是司机无法预见、无法避免且无法克服的。
- 证据收集：在这种情况下，乘客需要收集相关证据证明事故是由不可抗力或意外事件导致的，且司机已尽合理注意义务。这些证据可能包括事故现场照片、气象报告、道路状况报告等。
保险赔偿的情况
- 保险覆盖：如果司机购买了机动车交通事故责任强制保险（交强险）和商业三者险，且事故在保险覆盖范围内，那么保险公司将承担相应的赔偿责任。这可以减轻司机的经济负担。
- 赔偿顺序：在保险赔偿的情况下，通常先由交强险在责任限额内进行赔偿，不足部分由商业三者险进行赔偿。如果仍有不足，再由司机根据过错程度承担赔偿责任。
实际操作建议：
- 协商解决：事故发生后，双方应首先尝试通过协商解决赔偿问题。这有助于减少诉讼成本和时间，同时维护双方的关系。
- 寻求法律途径：若协商不成，受害乘客可以依法向法院提起诉讼，要求司机承担相应的赔偿责任。在诉讼过程中，双方需要提供相关证据支持自己的主张。
- 证据收集：无论是协商还是诉讼，双方都应积极收集相关证据，如事故现场照片、医疗记录、证人证言等。这些证据对于确定事故责任、赔偿范围以及法院裁量都具有重要作用。
法律依据：
- 《中华人民共和国民法典》第八百二十三条：承运人应当对运输过程中旅客的伤亡承担赔偿责任；但是，伤亡是旅客自身健康原因造成的或者承运人证明伤亡是旅客故意、重大过失造成的除外。前款规定适用于按照规定免票、持优待票或者经承运人许可搭乘的无票旅客。
- 《中华人民共和国民法典》第一千一百六十五条：行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。依照法律规定推定行为人有过错，其不能证明自己没有过错的，应当承担侵权责任。
- 《中华人民共和国道路交通安全法》第七十六条：机动车发生交通事故造成人身伤亡、财产损失的，由保险公司在机动车第三者责任强制保险责任限额范围内予以赔偿；不足的部分，按照下列规定承担赔偿责任：（一）机动车之间发生交通事故的，由有过错的一方承担赔偿责任；双方都有过错的，按照各自过错的比例分担责任。（二）机动车与非机动车驾驶人、行人之间发生交通事故，非机动车驾驶人、行人没有过错的，由机动车一方承担赔偿责任；有证据证明非机动车驾驶人、行人有过错的，根据过错程度适当减轻机动车一方的赔偿责任；机动车一方没有过错的，承担不超过百分之十的赔偿责任。交通事故的损失是由非机动车驾驶人、行人故意碰撞机动车造成的，机动车一方不承担赔偿责任。
综上所述，免费搭乘私家车受伤时，司机的赔偿责任并非一成不变，而是需要根据具体情况进行综合判断。在处理此类问题时，应充分考虑法律法规、双方过错程度以及司法实践等因素，以确保公正合理地解决纠纷。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。