核心结论：老公去世后，其在外所生小孩是否会被罚款，需分情况讨论，主要取决于该小孩是否符合计划生育政策以及是否已缴纳社会抚养费（若需缴纳）。

1. 若小孩符合计划生育政策：

   • 在我国，计划生育政策旨在控制人口增长，但同时也保障公民的生育权。如果老公去世后，其在外所生的小孩符合当地的计划生育政策（例如，属于政策内的生育，或者符合再生育条件等），那么通常不会因为小孩的出生而面临罚款。
   • 这种情况下，小孩的出生是合法的，享有与其他小孩同等的权利和义务，包括户籍登记、教育、医疗等。

2. 若小孩不符合计划生育政策且需缴纳社会抚养费：

   • 如果老公去世后，其在外所生的小孩不符合当地的计划生育政策（例如，属于超生、非婚生育等），并且根据当地的规定需要缴纳社会抚养费，那么在没有缴纳社会抚养费的情况下，可能会面临一定的行政处罚，但这通常不是以“罚款”的形式直接出现，而是可能涉及催缴、滞纳金等。
   • 需要注意的是，社会抚养费的征收标准和程序因地区而异，具体需参考当地的计划生育条例或相关规定。
   • 另外，即使老公已经去世，其遗产（如果有的话）也可能被用于缴纳应缴纳的社会抚养费。

3. 特殊情况考虑：

   • 如果老公去世后，其在外所生的小孩属于非婚生育，且母亲或监护人能够证明小孩的出生并非出于故意违反计划生育政策的目的（例如，因不知情、被欺骗等原因），那么在某些情况下，可能会减轻或免除社会抚养费的缴纳责任。
   • 此外，如果小孩已经落户或者已经缴纳了社会抚养费（如果需要的话），那么通常不会再因为小孩的出生而面临额外的罚款或处罚。

建议：

• 如果您面临这样的情况，建议首先了解当地的计划生育政策和相关规定，特别是关于社会抚养费的征收标准和程序。
• 如果您对政策或规定有疑问，或者认为自己的权益受到了侵害，可以向当地的计划生育部门或法律援助机构咨询并寻求帮助。
• 在处理此类问题时，请务必保留好相关证据和文件，以便在需要时提供证明。