结论：面对公公出轨而婆婆不知情的情况，处理方式需谨慎且考虑多方面因素，包括家庭关系、道德伦理以及可能的法律后果。以下是从不同角度给出的分析和建议。
一、家庭关系与道德伦理角度
沟通与劝解：
- 在发现此类情况后，首先可以考虑与公公进行私下沟通，了解他的想法和动机，尝试劝解他回归家庭，珍惜与婆婆多年的感情。
- 如果沟通无果，或者觉得直接沟通可能引发更大矛盾，可以考虑通过其他家庭成员（如其他子女、亲戚等）进行间接劝解。
保护婆婆的情感：
- 在处理此事时，应特别注意保护婆婆的情感不受伤害。避免在婆婆面前直接提及此事，以免给她带来巨大的心理冲击。
- 可以尝试通过增加陪伴、关心婆婆的生活等方式，来减轻她可能因公公出轨而产生的孤独感和失落感。
二、法律角度（虽不直接涉及法律诉讼，但需了解相关法律后果）
婚姻忠诚义务：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，夫妻之间有相互忠诚的义务。公公出轨的行为违反了这一义务，但这一行为本身并不直接导致法律上的制裁，除非因此引发了离婚等法律后果。
离婚时的财产分割与损害赔偿：
- 如果婆婆因此决定与公公离婚，根据法律规定，出轨行为可能作为感情破裂的证据之一，影响财产分割的比例。
- 在特定情况下（如出轨行为导致严重精神损害），婆婆还有权请求损害赔偿。但这一过程需要充分的证据支持，且需通过法律程序进行。
隐私权保护：
- 在处理此事时，还需注意保护各方的隐私权。未经允许，不得擅自公开或传播公公的出轨信息，以免侵犯其隐私权并引发不必要的法律纠纷。
三、实际操作建议
收集证据（谨慎操作）：
- 如果考虑未来可能涉及离婚等法律程序，可以在不侵犯隐私权的前提下，谨慎收集相关证据（如聊天记录、照片等）。但需注意，证据的收集必须合法，否则可能不被法院采纳。
寻求专业帮助：
- 如果家庭内部无法妥善处理此事，或者婆婆因此产生了严重的心理问题，可以考虑寻求心理咨询师或家庭治疗师的帮助。
- 同时，如果涉及离婚等法律问题，也可以咨询专业律师（如我），以了解具体的法律程序和可能的结果。
尊重各方意愿：
- 在处理此事时，应充分尊重婆婆、公公以及其他家庭成员的意愿和感受。避免强行介入或做出决定，以免引发更大的家庭矛盾。
最后，面对公公出轨而婆婆不知情的情况，需要谨慎处理，既要考虑家庭关系的和谐，也要了解可能的法律后果。如果有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。