核心结论：上一任离职后遗留的问题，是否需要担责，这主要取决于问题的性质、离职时的交接情况以及相关法律法规的规定。一般来说，如果遗留问题属于其在职期间应履行而未履行的职责，或者因其过错导致的问题，那么其应当承担相应的责任。
详细分析：
遗留问题的性质：
- 如果遗留问题是上一任员工在职期间应当完成但未完成的工作任务，或者因其疏忽、故意等行为导致的问题，那么根据《中华人民共和国劳动法》及相关规定，其应当承担相应的责任。例如，未完成的合同签署、未处理的客户投诉等。
- 如果遗留问题是由于公司制度、流程或外部环境等因素导致的，且与上一任员工的个人行为无直接关联，那么其可能不需要承担责任。
离职时的交接情况：
- 如果上一任员工在离职时已经按照公司规定进行了全面的工作交接，包括遗留问题的说明和处理建议，且公司已经接受并确认了交接内容，那么其可能不需要对遗留问题承担进一步的责任。
- 如果离职时交接不清，或者上一任员工故意隐瞒遗留问题，导致公司遭受损失的，其可能需要承担相应的赔偿责任。
相关法律法规的规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，劳动者在离职时应当按照双方约定，办理工作交接。如果因劳动者原因给用人单位造成损失的，劳动者应当承担赔偿责任。
- 同时，如果遗留问题涉及到违法、违规行为，如贪污、受贿等，那么上一任员工还可能面临刑事责任的追究。
法律建议：
- 对于公司而言，应当在员工离职时进行全面的工作交接，并明确遗留问题的处理责任和方式。同时，可以要求离职员工签署离职交接确认书，以明确双方的权利和义务。
- 对于离职员工而言，应当如实说明工作情况和遗留问题，避免隐瞒或虚假陈述。如果因个人原因导致公司遭受损失的，应当积极承担赔偿责任，以避免法律纠纷。
可能后果：
- 如果上一任员工对遗留问题不承担责任，且公司因此遭受损失的，公司可以通过法律途径追究其责任，要求其赔偿损失。
- 如果遗留问题涉及到违法、违规行为，上一任员工还可能面临刑事责任的追究，如罚款、拘役甚至有期徒刑等。
总结与进一步思考：
在处理上一任离职员工遗留问题时，公司应当综合考虑问题的性质、离职时的交接情况以及相关法律法规的规定，以确定责任归属。同时，公司也应当加强内部管理，完善工作交接制度，以避免类似问题的再次发生。如果您在处理此类问题时遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。