申请核查、调解、仲裁、诉讼等救济方式，是当事人在面对纠纷或权益受损时，可以采取的不同法律途径来维护自己的合法权益。下面我将从这几个方面分别进行详细解释：
申请核查：
- 定义：申请核查通常指的是当事人对某个行政行为、决定或事实存在疑问或不满时，向相关机关提出申请，要求对该行为、决定或事实进行审查核实的过程。
- 应用场景：例如，在行政诉讼中，如果当事人认为行政机关的具体行政行为违法或不当，可以先向行政机关提出复议申请，要求其对原行政行为进行核查。
- 法律效果：核查结果可能维持原行政行为、撤销或变更原行政行为，从而为当事人提供救济。
调解：
- 定义：调解是指在中立第三方的协助下，双方当事人通过协商达成和解协议，以解决纠纷的方式。
- 应用场景：调解广泛应用于民事纠纷、家庭纠纷、邻里纠纷等领域。例如，在合同纠纷中，双方当事人可以在调解员的协助下，就合同履行、违约责任等问题进行协商，达成和解协议。
- 法律效果：调解协议具有法律约束力，一旦达成并履行，纠纷即得到解决。如果一方不履行调解协议，另一方可以向法院申请强制执行。
仲裁：
- 定义：仲裁是指双方当事人根据事先或事后达成的仲裁协议，将纠纷提交给仲裁机构进行裁决的方式。
- 应用场景：仲裁常用于商事纠纷、劳动争议等领域。例如，在国际贸易中，双方当事人可以在合同中约定仲裁条款，一旦发生纠纷，就提交给约定的仲裁机构进行裁决。
- 法律效果：仲裁裁决具有终局性，对双方当事人都有约束力。如果一方不履行仲裁裁决，另一方可以向法院申请强制执行。
诉讼：
- 定义：诉讼是指当事人将纠纷提交给法院，由法院依法进行审理并作出判决的方式。
- 应用场景：诉讼是解决纠纷的最正式、最权威的方式。无论是民事纠纷、刑事纠纷还是行政纠纷，当事人都可以向法院提起诉讼。
- 法律效果：法院的判决具有强制执行力，当事人必须履行。如果一方不履行判决，另一方可以向法院申请强制执行。同时，诉讼过程也遵循严格的法律程序和证据规则，确保判决的公正性和合法性。
在选择救济方式时，当事人应根据纠纷的性质、金额大小、证据情况等因素综合考虑。例如，对于金额较小、事实清楚的纠纷，调解可能是一个更快捷、更经济的选择；而对于金额较大、事实复杂或涉及法律问题的纠纷，诉讼或仲裁可能更为合适。
如果你在面对纠纷时不确定应该选择哪种救济方式，或者需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。作为专业律师，我将根据你的具体情况，为你提供专业的法律建议和帮助。