当您在超市购物时发现被多收了钱，您完全有权要求超市进行退还，并根据具体情况主张相应的赔偿。以下是我为您详细梳理的法律依据、赔偿标准以及维权步骤：

法律依据与赔偿标准

1. 《中华人民共和国消费者权益保护法》：

   • 根据该法第五十二条，超市作为经营者，如果因提供商品或服务造成您财产损害，需承担退还货款、赔偿损失等民事责任。
   • 第五十五条第一款明确规定，若超市存在欺诈行为（如故意多收钱），您有权要求其增加赔偿受到的损失。增加赔偿的金额为您购买商品价款或接受服务费用的三倍；若此金额不足五百元，则赔偿五百元。

2. 不当得利原则：

   • 超市多收您的钱款构成不当得利，依法应返还给您，并赔偿因此给您造成的损失。

具体赔偿情况

1. 非故意多收钱（如计算错误）：

   • 超市应立即退还多收的金额，确保您无经济损失。
   • 为表歉意，超市可能会主动提供优惠券、小礼品等形式的适当补偿。

2. 故意多收钱（存在欺诈行为）：

   • 超市需退还多收金额，并按《消费者权益保护法》规定，支付商品价款或服务费用三倍的赔偿金；若赔偿金额不足五百元，则赔偿五百元。
   • 此行为构成欺诈，超市还可能面临法律严惩及监管部门的处罚。

维权步骤与建议

1. 与超市协商：

   • 首先，您可以与超市的客服或收银员沟通，指出问题并要求退还多收的费用及可能的赔偿。
   • 保持冷静和理性，以事实为依据，明确表达您的诉求。

2. 保留证据：

   • 在维权过程中，务必保留好购物凭证，如购物小票、发票、付款记录等。
   • 这些证据是证明您权益受损的关键，也是后续投诉或诉讼的依据。

3. 向消协或市场监管部门投诉：

   • 若与超市协商无果，您可以拨打12315向当地的消费者协会或市场监管部门投诉举报。
   • 提供详细的购物信息和多收钱的证据，以便相关部门介入调查并提供维权帮助。

4. 提起诉讼：

   • 若通过上述途径仍无法解决问题，您可以考虑向人民法院提起诉讼。
   • 在诉讼中，您需要提交相关证据以支持自己的主张，并依法追究超市的法律责任。

总结与建议

作为消费者，面对超市多收钱的情况，您应了解自己的合法权益，并通过合法途径积极维权。同时，保留好购物凭证是成功维权的关键。在维权过程中，保持冷静和理性，以事实为依据，明确表达您的诉求。如果超市态度积极、处理得当，您可以考虑接受适当的补偿；如果超市态度恶劣或拒绝赔偿，您应坚决维护自己的权益，通过投诉或诉讼途径寻求公正解决。