结论前置：
- 工厂不与员工签订书面劳动合同，在大多数情况下是违法的，工厂需承担相应的法律责任和经济赔偿。
- 但需注意，非全日制用工双方当事人可以订立口头协议，此情况不视为违法。
详细分析如下：
一、劳动合同签订的法律要求
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条的规定，建立劳动关系时，应当订立书面劳动合同。若已建立劳动关系但未同时订立书面劳动合同，则应在自用工之日起一个月内完成签订。这一规定明确了用人单位与劳动者之间必须签订书面劳动合同的法律义务，旨在保护劳动者的合法权益，确保劳动关系的稳定性和明确性。
二、未签订劳动合同的法律后果
超过一个月不满一年未签订：
- 依据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，需向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定是对用人单位未履行法定义务的惩罚性措施，旨在促使用人单位及时与员工签订劳动合同，保障劳动者的权益。
- 实例说明：假设小张于2024年1月1日入职某工厂，若工厂至2024年2月1日仍未与其签订书面劳动合同，则自该日起至双方签订书面劳动合同或满一年（即2025年1月1日）期间，小张除正常工资外，还可要求工厂每月额外支付一倍工资。
满一年未签订：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条，若工厂自用工之日起满一年仍未与劳动者签订书面劳动合同，则视为双方已订立无固定期限劳动合同。这意味着，即使双方没有书面合同，但劳动者仍享有与有固定期限劳动合同员工相同的权益，如享受社会保险、福利待遇等。
- 实例说明：若小李在某工厂连续工作满一年，而工厂始终未与其签订书面合同，那么法律上视为工厂与小李已订立无固定期限劳动合同，工厂需按此规定履行对小李的义务，如支付工资、提供劳动保护等。
行政责任：
- 工厂存在不与劳动者签订劳动合同等违法行为时，劳动保障行政部门可责令其改正，并按受侵害的劳动者每人1000元至5000元的标准处以罚款。这一规定进一步强化了法律的威慑力，促使工厂遵守法律规定，及时与员工签订劳动合同。
三、特殊情况处理
- 若劳动者拒绝签订劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法实施条例》第五条和第六条，工厂应在用工之日起一个月内书面通知劳动者终止劳动关系，并支付实际工作时间的劳动报酬。若超过一个月仍未签订合同，工厂需向劳动者支付双倍工资，并可书面通知终止劳动关系，同时支付经济补偿。这一规定平衡了劳动者和用人单位的权益，避免了因劳动者拒绝签订合同而给用人单位带来的不必要的损失。
四、劳动者权益保护与维权途径
- 劳动合同是保障劳动者权益的基础，明确了双方的权利和义务。缺乏合同保护，劳动者的多项权益可能受损，如工资支付、社会保险缴纳、福利待遇享受等。
- 面对工厂不签劳动合同的情况，劳动者应首先尝试与工厂协商，要求签订合同并支付补偿。协商无果时，可向劳动监察部门投诉，要求其责令工厂改正。劳动者还可申请劳动仲裁，通过法律程序维护自身合法权益。
总结与建议：
工厂不与员工签订书面劳动合同在大多数情况下是违法的，并需承担相应的法律责任和经济赔偿。为了保障自己的权益，劳动者应主动要求与工厂签订劳动合同，并妥善保管好合同原件。在遇到问题时，及时寻求法律援助或向相关部门投诉举报，以维护自己的合法权益。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。