对方保险公司私下向您索要身份信息是不合法的，您有权拒绝提供。以下从不同角度为您详细分析：
从信息保护的角度：
- 身份信息属于个人敏感信息，受到法律严格保护。根据《中华人民共和国个人信息保护法》等相关法律法规，任何组织或个人在处理个人信息时，都应当遵循合法、正当、必要的原则，并征得信息主体的明确同意。
- 对方保险公司作为商业机构，无权未经您同意私下获取您的身份信息。即使是为了处理交通事故理赔事宜，也应当通过正规渠道，如与您直接沟通或通过交警部门等官方途径获取。
从保险理赔流程的角度：
- 在交通事故理赔过程中，保险公司通常需要核实事故双方的身份信息、事故经过、损失情况等。然而，这一核实过程应当遵循法定程序和规定，不能私下进行。
- 如果对方保险公司需要您的身份信息以进行理赔处理，他们应当通过正式渠道向您提出请求，并说明获取信息的目的、方式和范围。您有权了解并决定是否提供这些信息。
您的权利与应对措施：
- 您有权拒绝对方保险公司私下索要身份信息的请求。如果对方坚持要求或采取不当手段获取您的信息，您可以向相关部门投诉或寻求法律帮助。
- 在处理交通事故理赔事宜时，建议您保持警惕，不要轻易将个人身份信息泄露给不明身份或未经授权的第三方。如果对方保险公司需要您的信息，您可以要求他们通过正规渠道与您联系，并核实其身份和请求的合法性。