公司辞退五年工龄的清洁工，赔偿问题需根据辞退的合法性分情况讨论，具体如下：

1. 若公司违法辞退（无合法理由或未履行法定程序）
   根据《劳动合同法》第48条、87条，公司需支付违法解除赔偿金，计算方式为：
   赔偿金 = 工作年限 × 月工资 × 2倍
   即：5年 × 月工资 × 2 = 10个月工资（月工资指劳动合同解除前12个月的平均工资，含基本工资、奖金、津贴等，但加班费不计入）。
   例外：若月工资高于当地社平工资3倍的，按3倍社平工资计算，且赔偿年限最高不超过12年（但清洁工工资通常较低，此情形较少见）。

2. 若公司合法辞退（有法定理由且程序合法）

   • 因员工过错辞退（如严重违反规章制度、失职造成重大损失等）：
     公司无需支付赔偿金或经济补偿金，但需承担举证责任（证明员工存在过错）。
     
   • 因客观情况变化辞退（如公司搬迁、业务调整等）：
     需支付经济补偿金，计算方式为：
     补偿金 = 工作年限 × 月工资
     即：5年 × 月工资 = 5个月工资。
     程序要求：公司需提前30日书面通知员工，或额外支付1个月工资（代通知金）。

3. 若公司未提前通知且未支付代通知金
   即使属于合法辞退（如客观情况变化），若未提前30日通知，员工可主张1个月工资作为代通知金（与经济补偿金可同时主张）。

关键提醒：

• 清洁工虽可能未签订书面劳动合同，但若已形成事实劳动关系，公司仍需按上述标准赔偿（工作年限从实际用工之日起算）。
  
• 若公司未缴纳社保，员工可同时主张补缴社保或要求赔偿社保损失（需通过劳动监察或诉讼解决）。
  
• 员工若对辞退合法性有异议，可申请劳动仲裁（时效1年），需准备工资条、工作证、辞退通知等证据。
  

如有具体细节（如辞退理由、是否签订合同等），可进一步向我说明，我会为您细化分析。